Question

De quantas maneiras podemos permutar os inteiros 1,2,3,4,5,6,7,8,9 de forma que nenhum inteiro par fique em sua posição natural

Answer 1

Podemos dividir o problema em dois casos disjuntos:

$\underline{1^o~\text{Caso:}}$ Permutando todos os números, de forma que nenhum fique em sua posição original:

Neste caso, por definição, podemos fazer a permutação caótica dos elementos dados. Se $D_n$ é o número de permutações caóticas de $n$ elementos, temos que:


$D_n=n!\left(\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+...+(-1)^n\dfrac{1}{n!}\right)$

Como temos 9 inteiros:

$D_9=9!\left(\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+...+(-1)^9\dfrac{1}{9!}\right)\\\\ D_9=133\,496$

Assim, há 133 496 permutações neste caso.


$\underline{2^o~\text{Caso:}}$ Permutando apenas os inteiros pares, de modo que nenhum deles fique em sua posição original e que os inteiros ímpares fiquem fixos.

Neste caso, é como se tivéssemos:

$1~~\underline{~~}~~3~~\underline{~~}~~~~5~~\underline{~~}~~~~7~~\underline{~~}~~~~9$

Ou seja, 4 espaços livres, nos quais os números pares não podem ocupar seus lugares originais. Dessa forma, temos uma permutação caótica de 4 termos:

$D_4=4!\left(\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}\right)\\\\ D_4=9$

Desse modo, temos 9 permutações possíveis neste caso.

Como os casos são disjuntos (no primeiro, os ímpares não ocupam suas posições originais, e, no segundo, eles estão fixados em suas posições originais), temos que o resultado será a soma dos dois:

$Total=133496+9\\\\ \boxed{Total=133\,505}$