Question

De quantas maneiras podemos extrair quatro cartas de um baralho de 52 cartas

Answer 1

• Primeira forma de resolver o problema:

Podemos resolver esse problema usando combinatória.

A Combinatória é a parte da Matemática que estuda as várias formas de fazer grupos com os elementos de um conjunto, formando-os e calculando o seu número.

Existem diferentes maneiras de fazer esses agrupamentos: dependendo se todos os elementos que temos ou apenas alguns são considerados, dependendo se a ordem de colocação dos elementos influencia ou não, e dependendo se os elementos são repetidos ou não.

Dependendo dessas variáveis, um problema de combinatória pode ser uma combinação, uma variação ou uma permutação.

Queremos conhecer as diferentes maneiras de tirar quatro cartas de um baralho de 52 cartas.

Para encontrar todas essas maneiras, vamos nos basear nas combinações, a combinação ou combinatória é uma técnica de contagem aplicada em experimentos aleatórios, nos quais a ordem em que os elementos são escolhidos não é levada em consideração e não é possível a repetição.

Definição: Dado um experimento aleatório com uma população N e uma amostra n, se não houver ordem ou repetição na amostra, o número de elementos no espaço amostral corresponde à combinatória de n em N, que é simbolizado $\sf _N C_n$ ou $\sf \dbinom{N}{n}$ e é definido como:

$\large\orange{\boxed{ \pink{\boxed{ \begin{array}{ccc} \green\star &&&\green\star\\ & \red{\sf{_N C_n=\dfrac{N!}{n!(N-n)!}}} & \\ \green\star&&&\green\star \end{array}}}}}$

Sabemos que o número de cartas que existem no baralho é igual a 52 cartas, então o tamanho da população neste caso é igual ao tamanho do baralho, pois queremos extrair 4 cartas do baralho, que é o o mesmo que extrair uma amostra igual a 4, podemos dizer que o número de combinações é dado por:

$_ {52} C _4=\dfrac{52!}{4!(52-4)!}\\\\ _{52} C_4=\dfrac{52!}{4!38!}$

Realizar o fatorial de 52 ou o produto de todos os inteiros anteriores a 52 seria muito complexo, então o que faremos é encontrar algum fatorial do denominador que esteja mais próximo do fatorial de 52, analisando de perto podemos ver que o fatorial de 48 está mais próximo do fatorial de 52, então o que faremos é pegar o produto de todos os inteiros de 52 a 48, pois se pararmos em 48 podemos traduzir esse 48 como um fatorial 48 e, assim, eliminar termos semelhantes.

$_{52} C_4=\dfrac{52\cdot51\cdot 50\cdot 49\cdot \not\!\!48!}{4!\not\!\!48!}\\\\ _{52} C_4=\dfrac{6.497.400}{4!}$

Fazendo o produto de todos os inteiros (descartando 0) antes de 4, ou seja, faremos o produto entre os números 4, 3, 2 e 1.

$_{52} C_4=\dfrac{6.497.400}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\\\\ _{52} C_4=\dfrac{6.497.400}{24}\\\\ \boxed{\sf _{52}C_4=270.725}$

• Segunda forma de resolver o problema:

Se a ordem importa, podemos aplicar o princípio fundamental da contagem.

O princípio fundamental da contagem afirma que se existem p maneiras de fazer uma coisa e q maneiras de fazer outra coisa, então existem p × q maneiras de fazer as duas coisas. possíveis resultados do experimento. O princípio de contagem pode ser estendido a situações em que você tem mais de 2 opções.

Vamos ter em mente um baralho de 52 cartas, queremos tirar uma carta deste baralho, temos 52 chances de tirar uma carta e uma vez que a carta que nós extraímos temos agora 51 cartas em nosso baralho.

Queremos extrair uma segunda carta do nosso baralho, lembre-se de que não devolvemos a carta que extraímos anteriormente, isso significa que agora temos apenas 51 possibilidades de extrair a carta, quando já extraímos essa carta do baralho que só vai fiquar 50 cartas.

Se quisermos extrair uma terceira carta, podemos ter 50 possibilidades de extrair essa carta, uma vez que tenhamos escolhido a carta que vamos extrair, ficaremos apenas com 49 cartas do baralho.

Finalmente, se quisermos extrair uma quarta carta do baralho, ficaremos apenas com 49 possibilidades, então, pelo princípio fundamental da contagem, as possibilidades de extrair 4 cartas do baralho são iguais a:

$Possibilidades~ de~ extrair ~4 cartas= 52\cdot 51\cdot 50\cdot 49\\\\ \boxed{\sf Possibilidades~ de~ extrair ~4 cartas=6.497.400}$

Conclusão: O problema não menciona se a ordem de retirada das cartas é importante, o que significa que os dois cálculos diferentes que fizemos são experiências diferentes para descobrir se a ordem importa ou não, portanto, o princípio fundamental da contagem será o procedimento correto.

Answer 2

As quatro cartas podem ser extraídas de 270.725 maneiras diferentes se for considerado que a ordem não importa ou de 6.497.400 maneiras diferentes se for considerado que a ordem importa.

Preâmbulo

• Considere o experimento: Extrair quatro cartas de um baralho de 52 cartas.

• Suponha que seja feito esse experimento duas vezes:

Na primeira vez obtém-se: 5, 3, A e 6

Na segunda vez obtém-se: 3, 5, 6 e A

• Observe que as cartas obtidas em cada experimento foram as mesmas mas sua ordem foi diferente.

• Se devemos considerar os dois resultados acima "diferentes" então usa-se o princípio fundamental da contagem, mas se a ordem não importar então os dois resultados acima devem ser considerados "iguais" então usa-se combinação: C₅₂,₄.

Resolução 1

• Considerando que a ordem não importa: (mesmas quatro cartas, mas sequências diferentes é considerado mesmo resultado). Aplique o conceito de combinação de 52 elementos quatro a quatro.

$\large \sf C_{52,4} = \dfrac{52!}{4! \cdot (52-4)!}$

$\large \sf C_{52,4} = \dfrac{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49 \cdot 48!}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 48!} = \dfrac {52}{4} \cdot \dfrac {51}{3} \cdot \dfrac {50}{2} \cdot 49 = 13 \cdot 17 \cdot 25 \cdot 49$

C₅₂,₄ = 270.725

As quatro cartas podem ser obtidas de 270.725 maneiras diferentes.

Resolução 2

• Considerando que a ordem importa (mesmas quatro cartas, mas sequências diferentes é considerado resultado diferente) aplique o princípio fundamental da contagem.

A₅₂,₄ = 52 ⋅ 51 ⋅ 50 ⋅ 49 = 6.497.400

As quatro cartas podem ser obtidas de 6.497.400 maneiras diferentes.

Conclusão:

• Considerando que o enunciado não menciona se deve ou não considerar a ordem obtida, indica que as duas experiências expostas no preâmbulo são resultados diferentes então o correto é usar o princípio fundamental da contagem.

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