Question

de quantas maneiras diferentes podemos colocar 8 livros em 3 gavetas? me ajudeeem por favor!

Answer 1

=> Temos 8 livros ...e 3 gavetas


Pretendemos saber de quantas maneiras podemos colocar os 8 livros ...nas 3 gavetas,

...ou seja pretendemos saber as soluções inteiras e não negativas da equação:

X + Y + Z = 8 ...considerando X, Y e Z como sendo as gavetas

Note que no exercício não tem nenhuma restrição á distribuição dos livros pelas gavetas pelo que pode haver 1 ou mais gavetas ...sem livros!!

Assim o número (N) de maneiras será dado por:

N = C[(m+r-1), (m-1)]

...considerando:

m = número de incógnitas ..neste caso 3 (as gavetas)
r = soma das "raízes" ..neste caso 8 (o número total de livros

RESOLVENDO:

N = C[(m+r-1), (m-1)]
 
N = C[(3+8-1), (8-1)]

N = C(10, 7)

N = 10!/7!(10-7)!

N = 10!/7!3!

N = 10 . 9 . 8 . 7!/7!3!

N = 10 . 9 . 8/3!

N = 720/6

N = 120 <--- número de soluções inteiras e não negativas



Mas como o texto é omisso em relação a todas as gavetas terem
ou não livros ...vamos reequacionar o problema considerando que todas as gavetas tem de ter pelo menos 1 livro ...por outras palavras ...vamos calcular as soluções inteiras não negativas e NÃO NULAS para o nosso problema inicial.

Basta para isso adicionar 1 unidade a cada uma das incógnitas da equação anterior ..donde resultará:

(X+1) + (Y+1) + (Z+1) = 8

resolvendo teremos:

X + Y + Z = 8 - 3

X + Y + Z = 5

..aplicando a fórmula anterior:

N = C[(m+r-1), (m-1)]
 
N = C[(3+5-1), (3-1)]

N = C(7, 2)

N = 7!/2!(7-2)!

N = 7!/2!5!

N = 7 . 6 . 5!/2!5!

N = 7 . 6/2!

N = 42/2

N = 21 <-- número de maneiras de distribuir os 8 livros de modo a que nenhuma gaveta fique sem livros
 

Espero ter ajudado