Question

De quantas maneiras as letras da palavra INDEPENDENCIA podem ser arranjados de forma que não alterem as ordens das vogais que aparecem, considerando a restrição de que duas letras D não podem estar juntas?
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Answer 1

Temos um exercício complexo de quantidade de anagramas de uma palavra devido à complexidade extra dada às restrições dadas. Para resolvê-lo vamos modelá-lo da seguinte forma:

Como a ordem das vogais devem ser respeitadas, mas não sua posição, então podemos considerá-las uma mesma letra e aplicar a ordem depois. Como assim? Se essas vogais sempre seguem uma mesma ordem, então se trocarmos todas por X

$INDEPENDENCIA \longrightarrow XNDXPXNDXNCXX$

Nosso único trabalho será substituir cada X dependendo se sua ordem de aparência por I, se for a primeira aparição, E, se for a segunda, E, se for a terceira e assim por diante até a última ser substituída por A. Assim, por exemplo, o anagrama

$XXXXNDXPNDNCX \longrightarrow IEEENDIPNDNCA$

cria um anagrama que segue a ordem, sem adicionar qualquer elemento a mais. No entanto, não impede que as letras D não estejam juntas, para isso, utilizaremos a propriedade do complementar:

A soma do número de anagramas que necessariamente têm as letras D juntas com o número dos anagramas que não estão com as letras D juntas é igual ao número de anagramas sem esta condição.

Isso acontece pois o evento das letras estarem juntas com o evento das letras estarem separadas são complementares (se uma não ocorre, a outra tem de ocorrer), assim, a soma das duas tem de dar todos os anagramas em que as letras D estão juntas ou estão separadas, ou seja, todos os anagramas sem esta condição. O número de anagramas sem a condição é a o arranjo de 13 letras com repetição de 6 X, 3 N e 2 D, ou seja,

$[XNDXPXNDXNCXX] = \dfrac{13!}{6!\, 3!\, 2!} = 720720$

Agora, como queremos que apareça a sequência "DD" em algum lugar, trataremos como uma só letra, D, assim o número de anagramas se torna o arranjo de uma palavra de 12 letras com repetição de 6 X e 3 N.

$[XN\mathbf{D}XPXNXNCXX] = \dfrac{12!}{6!\, 3!} = 110880$

Assim, o número de anagramas com D separados é

$A_{sem condi\c{c}ao} = A_{D juntos} + A_{D separados}$

$A_{D separados} = 720720-110880 = 609840\, \mathrm{Anagramas}$

Assim, o número de anagramas da palavra INDEPENDENCIA que mantêm a ordem das letras e as letras D se mantêm separadas é de 609.840 Anagramas.

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