Question

De quantas maneiras 7 pessoas podem ocupar 3 táxis distintos, sendo que cada um deles receba pelo menos duas pessoas?

E

De quantas maneiras 7 chaveiros idênticos podem ser distribuídos para duas pessoas sendo que cada uma delas deve
receber pelo menos 2 chaveiros? ME EXPLIQUEM COMO RESOLVERAM DETALHADAMENTE, 50 PONTOS

Answer 1

Olá, Hitaloneves.

1) Em 3 táxis, a condição a ser observada é que cada um deles receba pelo menos 2 pessoas.
Utilizarei a notação (x, y, z) para a distribuição das pessoas nos táxis: x no primeiro táxi, y no segundo e z no terceiro.
As distribuições possíveis que atendem esta condição são 3 em um táxi e 2 nos outros dois táxis. (3, 3, 1), (3, 1, 3) e (1, 3, 3) não pode, porque devemos ter 2 pessoas pelo menos em cada táxi. (2, 2, 2) não pode, porque fica uma pessoa sem táxi.
Distribuições possíveis de 3, 2 e 2 pessoas nos 3 táxis distintos são 3:
(3, 2, 2), (2, 3, 2), (2, 2, 3).

A distribuição das pessoas nos táxis para (3, 2, 2) é dada por:
$\binom73\binom42\binom22=\frac{7!}{4!3!} \cdot\frac{ 4!}{2!2!}\cdot 1 =210$

A distribuição das pessoas nos táxis para (2, 3, 2) é dada por:
$\binom72\binom53\binom22=\frac{7!}{5!2!}\cdot\frac{5!}{2!3!}\cdot1 =210$

A distribuição das pessoas nos táxis para (2, 2, 3) é dada por:
$\binom72\binom52\binom33=\frac{7!}{5!2!}\cdot\frac{5!}{3!2!}\cdot1 =210$

Somando as três distribuições possíveis temos:
210 + 210 + 210 = 630 maneiras

2) 7 chaveiros para duas pessoas, sendo que cada uma delas receberá pelo menos 2 chaveiros.
Seja o par (x,y) os chaveiros dados para cada uma das pessoas (x para a primeira e y para segunda).
(6,1) e (1,6) não pode.
Distribuições de chaveiros possíveis: (5,2), (4,3), (3,4), (2,5), ou seja,
4 maneiras.