Question

De quantas maneiras 10 livros distintos podem ser colocados em 5 caixas idênticas , contendo 2 livros cada uma?

Answer 1

Olá, Eduzao001.

Na primeira caixa, podemos colocar uma combinação de 10 livros tomados 2 a 2.
Na segunda caixa, podemos colocar uma combinação de 8 livros tomados 2 a 2. Por que 8? Porque 2 do 10 já foram colocados na caixa anterior.
Na terceira caixa, 6 livros tomados 2 a 2.
Na quarta, 4 livros tomados 2 a 2.
E, por último, na quinta, o par de livros que restou.

Vamos somar então, todos os números de combinações possíveis de cada caixa:

$C_{10,2}+C_{8,2}+C_{6,2}+C_{4,2}+C_{2,2}=\\\\ =\binom{10}2+\binom82+\binom62+\binom42+\binom22=\\\\ =\frac{10!}{8!2!}+\frac{8!}{6!2!}+\frac{6!}{4!2!}+\frac{4!}{2!2!}+\frac{2!}{0!2!}=\\\\ =\frac{10.9.8!}{8!.2}+\frac{8.7.6!}{6!.2}+\frac{6.5.4!}{4!.2}+\frac{4.3.2!}{2!.2}+\frac{2.1}{1.2}=\\\\ =45+28+15+6+1=\\\\ =\boxed{95}$