Question

De quantas formas é possível escrever o número 105 como diferença de dois quadrados perfeitos?

Answer 1

A diferença entre dois quadrados perfeitos é um produto notável conhecido, que é definido como:
$a^2-b^2 = (a+b) \cdot (a-b)$

Segundo o enunciado, teremos que:
$(a+b) \cdot (a-b)= 105$

Agora faz-se necessário uma análise acerca de quais produtos que podem gerar o número 105. Para isso, fatoraremos:
$105 ~~~~ / ~~3 \\ \\ 35 ~~~~ / ~~ 5 \\ \\ 7 ~~~~/ ~~7 \\ \\ 1$

Tendo que $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 1= 105$, podemos rescrever esse produto, com dois termos, das seguintes formas:
$105= 15 \cdot 7 \\ \\ 105= 21 \cdot 5 \\ \\ 105= 35 \cdot 3 \\ \\ 105= 105 \cdot 1$

Lembre-se que:
$105= 15 \cdot 7 ~~ representa ~~105= (x+y) \cdot (x-y)$

Portanto, agora faremos 4 sistemas lineares. Observe:
$\left \{ {{x+y= 15} \atop {x-y= 7}} \right. ~~~ \to ~~~ x= 11 ~~~ e ~~~ y= 4 \\ \\ \left \{ {{x+y= 21} \atop {x-y=5}} \right. ~~~ \to ~~~ x= 13 ~~~ e ~~~ y= 8 \\ \\ \left \{ {{x+y=35 } \atop {x-y=3 }} \right. ~~~ \to ~~~ x= 19 ~~~ e ~~~ y= 16 \\ \\ \left \{ {{x+y= 105} \atop {x-y= 1}} \right. ~~~ \to ~~~ x= 53 ~~~ e ~~~ y= 52$

Sabendo-se o x e o y, podemos voltar no produto notável inicial e descobrir as possibilidades. Observe:
$\boxed{11^2-4^2= 105}\\ \\ \boxed{13^2-8^2= 105}\\ \\ \boxed{19^2- 16^2= 105}\\ \\ \boxed{53^2-52^2= 105}$

Portanto, há quatro formas possíveis de escrever a diferença de dois quadrados perfeitos que resulta em 105.