Question

De qual altura cai um objeto que percorre a metade final da sua trajetória de queda no último segundo?

Achei o exercício em um livro do ensino superior, só avisando caso necessite de algum artificio do cálculo etc.

Answer 1

Para essa questão utilizarei a fórmula $s = s_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2$ pois há a presença de duas variáveis do enunciado: tempo e deslocamento.

Informações:

altura = h, $\\s_0=0,\ a=-g$     (g > 0)

(Origem no local inicial e y aumenta para cima)

Equação para a queda completa da bola  (t = t_final e s = -h)

$-h = 0+0*t_f-\frac{1}{2}gt_f^2\\h=\frac{1}{2}g{t_f^2}$

Equação em que t = t_final - 1  e  s = -h/2

$-\frac{h}{2}=0+0*(t_f-1)-\frac{g}{2}(t_f-1)^2\\\\h=g(t_f-1)^2$

Como os dois eventos ocorreram utilizando-se das mesmas constantes, podemos substituir a primeira equação na segunda, assim temos:

$\frac{1}{2}g{t_f^2}=g(t_f-1)^2\\\\t_f^2=2(t_f^2-2t_f+1)\\\\t_f^2=2t_f^2-4t_f+2\\\\t_f^2-4t_f+2=0\\\\\Delta=b^2-4ac\\\Delta=16-8=8\\\\t_f=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4\pm2\sqrt{2}}{2}=2\pm\sqrt{2}=2+\sqrt{2}\ \ \ (t>0)$

Achamos o tempo final, basta agora apenas substituir em qualquer expressão h(t)

$h=g(t_f-1)^2\\\\h=g((2+\sqrt{2})-1)^2\\\\h=g(1+\sqrt{2})^2\\\\h=g(1+2\sqrt{2}+2)\\\\\\\boxed{h=g(3+2\sqrt{2})}$