Question

dê os valores de x∈ (0,2π)que satisfazem 0< tan(x)<1. sugestão: desenhe o ciclo trigonométrico para resolver o que foi pedido.

Answer 1

Ta em anexo os valores de x que correspondem ao intervalo entre 0 e 2pi (que é o ciclo inteiro) no ciclo trigonométrico na imagem abaixo.

Mas, perceba que ele quer os valores somente entre 0 e 1, certo? 
Então , na imagem, você vai observar somente os valores  da tgx entre 0° e 90° (pois este é o valor x pedido no intervalo da questão) ok?

Answer 2

Com a condição 0 < tan(x) < 1, desejamos encontrar ângulos x cujas tangentes estejam compreendidas entre 0 e 1.

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Primeiro quadrante:

• O ângulo x que possui 0 como tangente é o ângulo 0º, 0 rad
• O ângulo x que possui 1 como tangente é o ângulo 45º, $\frac{\pi}{4}$ rad
• Ângulos situados entre 0º e 45º possuem tangentes situadas entre 0 e 1

Assim, neste quadrante, os valores de x que satisfazem a condição 0 < tan(x) < 1 são expressos por $\text{S}_1 = \ ]0^\circ,45^\circ[$ ou $\text{S}_1 = \ ]0, \frac{\pi}{4}[$. É válido lembrar que 0º e 45º não são incluídos na solução desta condição, pois esta determina pelo sinal aberto (<) que as tangentes não apenas estejam compreendidas entre zero e um, mas também que não sejam iguais a tais.

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Segundo quadrante:

• No segundo quadrante, toda tangente é menor que zero para todo ângulo x, exceto para 90º e 180º, que possuem tangentes respectivamente iguais a infinito e 0, não compreendidos entre 0 e 1.

Assim, $\text{S}_2 = \varnothing$

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Terceiro quadrante:

• O ângulo x que possui 0 como tangente é o ângulo 180º, $\pi$ rad
• O ângulo x que possui 1 como tangente é o ângulo 225º, $\frac{5\pi}{4}$ rad
• Ângulos situados entre 180º e 225º possuem tangentes situadas entre 0 e 1

Assim, neste quadrante, os valores de x que satisfazem a condição 0 < tan(x) < 1 são expressos por $\text{S}_3 = \ ]180^\circ,225^\circ[$ ou $\text{S}_3 = \ ]\pi, \frac{5\pi}{4}[$. É válido lembrar que 180º e 225º não são incluídos na solução desta condição, pois esta determina pelo sinal aberto (<) que as tangentes não apenas estejam compreendidas entre zero e um, mas também que não sejam iguais a tais.

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Quarto quadrante:

• No quarto quadrante, toda tangente é menor que zero para todo ângulo x, exceto para 270º e 360º, que possuem tangentes respectivamente iguais a menos infinito e 0, não compreendidos entre 0 e 1.

Assim, $\text{S}_4 = \varnothing$

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Juntando as soluções (expressaremos em radianos), temos:

$\text{S} = \ ]0, \frac{\pi}{4}[ \ \cup \ ]\pi, \frac{5\pi}{4}[$
ou
$\text{S} = \{x \in \mathbb{R} \ | \ 0 < x < \frac{\pi}{4} \ ou \ \pi < x < \frac{5\pi}{4}\}$