Question

dê o valor de x na igualdade x+3x+...+729x=5465,sabendo que os termos do primeiro membro formam uma p.g

Answer 1

Precisamos de duas equações, a da somados termos finits da PG e a equação que descreve o termo geral da PG.

$Soma\; dos \;termos \;finitos: \\s_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1} \\\\Termo\;geral:\\a_n=a_m*q^{n-m}$

Onde an e am são termos da PG de ordem "n" e "m' respectivamente e "q" é a razão da PG.

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n} \\\\Podemos\;calcular\;a\;razao\;utilizando\;os\;dois\;primeiros\;termos\;dados:\\q=\frac{a_2}{a_1}= \frac{3x}{x}=3$

Agora se observarmos a formulação da soma veremos que é preciso saber a qnt de termos nesta PG.

Temos o ultimo termo (729x) , mas nao sabemos sua posição.

Podemos utilizar a formulação do termo geral para isso:

$a_n=a_m*q^{n-m}\\\\729x = a_1*3^{n-1}\\\\729x = x*3^{n-1}\\\\3^{n-1}=729\\\\3^{n-1}= 3^6\\\\n-1=6\\\\x = 7$

Assim sendo a PG tem 7termos, podemos por fim utilizar a formulação da soma para descobrir o valor de "x":

$s_7=\frac{x(3^7-1)}{7-1}\\\\5465=\frac{x(2187-1)}{6}\\\\5465*6=2186x\\\\x = \frac{32790}{2186}\\ \\x=15$