Question

Dê o conjunto Universo:

a) 5 = -3
----- ------
x-9     x
       

b) 3 = 1

----- -----
4x²    5

c) 4 = y
------- ------

2y+2   y²-1

d) 2x = -1
------ -----
x-4       6

Answer 1

a) 5/(x² - 9) = -3/x  (condição de existência: x ≠ ± 3 e x ≠ 0)

5.x = -3(x² - 9)

5.x = -3.x² + 27

5.x + 3.x² - 27 = 0

3.x² + 5.x - 27 = 0

Δ = 5² - 4(3)(-27) = 25 + 324 = 349

√Δ = √349

x' = (-5 + √349)/2.3 = (-5 + √349)/6

x'' = (-5 - √349)/2.3 = (-5 - √349)/6


b) 3/(4.x²) = 1/5  (Condição de existência: x ≠ 0)

3.5 = (4.x²).1

15 = 4.x²

x² = 15/4

√x² = √15/4

x = ±√15/4 = ±(√15)/2

c) 4/(2.y + 2) = y/(y² - 1)  (condição de existência: y ≠ -1)

4.(y² - 1) = y.(2.y + 2)

4y² - 4 = 2.y² + 2y

4y² - 2y² - 2y - 4 = 0

2y² - 2y - 4 = 0 (÷2)

y² - y - 2 = 0

Δ = (-1)² - 4(1)(-2)
Δ = 1 + 8 = 9
√Δ = √9 = 3

y' = (1 + 3)/2 = 4/2 = 2

y'' = (1 - 3)/2 = -2/2 = -1  (não serve pela CE)

d) 2x/(x - 4) = -1/6  (condição de existência: x ≠ 4)

2x.6 = (x - 4).-1

12.x = -x + 4

12.x + x = 4

13.x = 4

x = 4/13

Espero ter ajudado.

Answer 2

Vamos lá.

Pede-se o conjunto universo das seguintes expressões:

a) 5/(x²-9) = -3/x ---- Esta já é a nova escrita que você deu para a expressão do item "a". Por isso, estamos editando a nossa resposta para dar o novo conjunto universo.

Veja que a condição de existência da expressão acima é que: "x²-9" e "x" sejam, ambos, diferentes de zero, pois não há divisão por zero. Por isso, deveremos ter as seguintes restrições:

x² - 9 ≠ 0 ----> x² ≠ 9 ---> x ≠ +-√(9) ---> x ≠ +-3. Ou seja: x ≠ -3 e x ≠ 3
e
x ≠ 0 ---> x ≠ 0

Agora veja: como já sabemos quais são as restrições, então já poderemos multiplicar em cruz, pois temos certeza de que não estaremos multiplicando por zero. Então, repetindo a expressão, temos:

5/(x²- 9) = -3/x  ---- multiplicando em cruz, temos?
x*5 = (x²-9)*(-3) --- efetuando os produtos indicados, teremos:
5x = - 3x² + 27 ---- vamos passar todo o 2º membro para o 1º, com o que ficaremos assim:

5x + 3x² - 27 = 0 ---- Ordenando, teremos:
3x² + 5x - 27 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x' = (-5-√349)/6 e x'' = (-5+√349)/6 <--- Esta é a resposta. E veja que ambas as raízes atendem às condições de existência. Assim, você poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que dá no mesmo:

U =  {(-5-√349)/6; (-5+√349)/6}.

b) 3/4x² = 1/5

Veja que aqui a restrição é que 4x² ≠ 0 ---> x² ≠ 0/4 ---> x ≠ 0 <--- Esta é a restrição que deveremos fazer para que a expressão dada tenha sentido.
Como já vimos que x ≠ 0 , então poderemos multiplicar em cruz, já sabendo que não estaremos multiplicando por zero. Assim, repetindo a expressão, teremos:

3/4x² = 1/5 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
5*3 = 4x²*1
15 = 4x² ---- vamos apenas inverter, ficando:
4x² = 15
x² = 15/4
x = +-√(15/4) ----- note que isto é a mesma coisa que:
x = +-√(15)/√(4) ---- como √(4) = 2, ficaremos com:
x = +-√(15)/2 ----- daqui você já pode concluir que:

x' = - √(15)/2
x'' = √(15)/2

Note que ambas as raízes atendem à condição de existência da função dada, que era x ≠ 0.

Assim, o conjunto universo será:

x = - √(15)/2 ou x = √(15)/2 <--- Esta é a resposta, podendo você apresentar o conjunto universo da seguinte forma, o que dá no mesmo:

U = {-√(15)/2; √(15)/2}.

c) 4/(2y+2) = y/(y²-1)

Aqui teremos as seguintes restrições:

2y+2 ≠ 0 ---> 2y ≠ -2 ---> y ≠ -2/2 ---> y ≠ -1
e
y²-1 ≠ 0 ---> y² ≠ 1 ---> y ≠ +-√(1) ---> y ≠ +- 1, ou seja: y ≠ -1 e y ≠ 1.

Assim, resumindo, temos que as condições de existência serão estas:

y ≠ -1 e y ≠ 1 .

Como já sabemos quais são as condições de existência, vamos trabalhar com a expressão dada, que é esta:

4/(2y+2) = y/(y²-1) ---- note que já podemos multiplicar em cruz, pois já temos as condições de existência e, assim, ao multiplicar em cruz sabemos que não estaremos multiplicando por zero. Assim, multiplicando em cruz, teremos;

(y²-1)*4 = (2y+2)*y ---- efetuando os produtos indicados nos 2 membros, teremos:

4y² - 4 = 2y² + 2y ---- passando todo o 2º membro para o 1º, teremos:
4y² - 4 - 2y² - 2y = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
2y² -2y - 4 = 0 ---- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos da seguinte forma:

y² - y - 2 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, vai encontrar as seguintes raízes:

y' = -1 <--- Raiz inválida, pois já vimos que "y" terá ser diferente de "-1".
y'' = 2 <--- Raiz válida, pois atende às condições de existência.

Assim, o conjunto universo será:

y = 2 <--- Esta é a resposta, o que você poderá apresentar da seguinte forma como sendo o conjunto universo:

U = {2}.

d) 2x/(x-4) = -1/6

Vamos para a condição de existência:

x - 4 ≠ 0 ---> x ≠ 4 <--- Esta é a condição de existência da expressão dada.

Agora vamos trabalhar com ela, que é esta:

2x/(x-4) = -1/6 ---- como já vimos que x ≠ 4 , então já poderemos multiplicar em cruz, com a certeza de que não estaremos multiplicando por zero. Assim, fazendo isso, teremos:

6*2x = -1*(x-4) ---- efetuando os produtos indicados, teremos:
12x = - x + 4 ---- passando "-x" para o 1º membro, teremos:
12x + x = 4
13x = 4
x = 4/13 <------- Esta é a resposta. E veja que esta raiz satisfaz à condição de existência, que era x ≠ 4. Assim, você poderá representar o conjunto universo da seguinte forma, o que dá no mesmo:

U = {4/13}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.