Question

Dê o conjunto solução da equação $log_{3} x + ( \frac{1}{log_{3x}9} ) = 2$

Gostaria de um passo a passo , pois não consigo fazer!

Answer 1

Vamos lá.

Tem-se a seguinte expressão logarítmica:

log₃ (x)  + 1/[log₃ₓ (9)] = 2

Agora Vitor, note que: 1/[log₃ₓ (9)] é a mesma coisa que: log₉ (3x)

Assim, fazendo as devidas substituições, ficaremos da seguinte forma:

log₃ (x) + log₉ (3x) = 2 ----- note que 9 = 3². Assim:

log₃ (x) + log₃² (3x) = 2

Agora veja mais isto: o inverso do expoente da base passa a multiplicar o respectivo log. Então vamos ficar da seguinte forma:

log₃ (x) + (1/2)*log₃ (3x) = 2 ----- passando o "1/2" para expoente, ficaremos:

log₃ (x) + log₃ (3x)¹/² = 2 ----- transformando a soma em produto, ficaremos:

log₃ [(x)*(3x)¹/²] = 2 ---- finalmente, veja que: conforme a definição de logaritmo isto é a mesma coisa que:

3² = [x*(3x)¹/²] ---- ou apenas:
9 = x*(3x)¹/² ---- ou, o que é a mesma coisa;
9 = x*(3¹/² * x¹/²) ---- ou ainda:
9 = x*x¹/² * 3¹/² ----- note que o "x", que está sem expoente, tem, na verdade expoente igual a "1". Assim:

9 = x¹ * x¹/² * 3¹/² ----- note que x¹*x¹/² = x¹⁺¹/² = x³/². Assim:

9 = x³/² * 3¹/² ---- atente que isto é a mesma coisa que:

9 = √(x³) * √(3) ---- ou, o que é a mesma coisa;
9 = √(x³ * 3) ---- ou ainda;
9 = √(3x³) ----- elevando ambos os membros ao quadrado, teremos:

9² = [√(3x³)]² ------ desenvolvendo, ficaremos apenas com:

81 = 3x³ ------ vamos apenas inverter, ficando:
3x³ = 81
x³ = 81/3
x³ = 27
x = ∛(27)
x = 3 <---- Esta é a resposta.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.