Question

Dê o conjunto A tal que, se m pertence a A, então os vetores abaixo formam uma base de R3.
u = (2, 2, 0) ; v = (3, 1, 4) ; w = (1,-1,m)

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Para formar uma base de R³, os vetores devem ser LI, ou seja, sendo a, b e c constantes reais:

a.u + b.v + c.w = 0 se e somente se a = b = c = 0

a.(2, 2, 0) + b.(3, 1, 4) + c.(1, -1, m) = (0, 0, 0)

(2a, 2a, 0) + (3b, b, 4b) + (c, -c, c.m) = (0, 0, 0)

(2a+3b+c, 2a+b-c, 4b+cm) = (0, 0, 0)

Daí, temos o sistema:

2a+3b+c = 0 (i)

2a+b-c = 0    (ii)

4b+cm = 0    (iii)

Fazendo a diferença de (i) e (ii):

2a+3b+c - (2a+b-c) = 0-0

2a+3b+c - 2a - b + c = 0

2b+2c = 0

b+c = 0

b = -c (iv)

Substituindo (iv) em (iii):

4b+cm = 0

4.(-c) + cm = 0

-4c + cm = 0

c.(-4+m) = 0  ⇒ c = 0, ou m = 4.

Se c = 0, a e b também são nulos, mas para c ≠ 0 e m = 4, temos que c pode assumir qualquer valor e assim, os vetores serão LD (linearmente dependentes), o que os impede de ser base de R³.

Logo, o conjunto A dos valores de m que fazem os vetores serem base de R³ é o conjunto dos Reais diferentes de 4.

A = R \ {4}

Espero ter ajudado :)