Question

Dê o Centro e o Raio da Circunferência
$3x {}^{2} + 3y { }^{2} - 12x - 15y - 6 = 0$

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cavaleirodalua, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para determinar o centro e o raio da circunferência que tem a seguinte equação:

3x² + 3y² - 12x - 15y - 6 = 0 ----- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "3", com o que a expressão acima ficará sendo esta:

x² + y² - 4x - 5y - 2 = 0

ii) Antes de iniciar, veja que uma circunferência que tenha centro em C(x₀; y₀) e raio = r, a sua equação reduzida é da seguinte forma:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²        . (I)

Vamos deixar a expressão (I) aí de cima "guardadinha", pois daqui a pouco vamos precisar dela.

iii) Agora vamos à equação da circunferência da sua questão, que já vimos que é esta, após havermos dividido ambos os membros por "3":

x² + y² - 4x - 5y - 2 = 0

iv) Agora faremos o seguinte: vamos ordenar a equação acima pra facilitar na formação dos quadrados. Assim teremos:

x² - 4x + y² - 5y - 2 = 0 ---- agora vamos formar os quadrados, lembrando que deveremos subtrair aqueles valores que forem acrescentados em função da formação dos quadrados. Assim, teremos:

(x-2)² - 4 + (y-2,5)² - 6,25 - 2 = 0 ----- ordenando, ficaremos com:
(x-2)² + (y-2,5)² - 4 - 6,25 - 2 = 0 ---- efetuando esta soma algébrica dos números, ficaremos com:

(x-2)² + (y-2,5)² - 12,25 = 0 ---- passando "-12,25" para o 2º membro, temos:
(x-2)² + (y-2,5)² = 12,25  --- note que "12,25" = "3,5²" . Assim, ficaremos com:
(x-2)² + (y-2,5)² = 3,5²        . (II)

v) Agora veja: vamos fazer a comparação da expressão (II) acima, que acabamos de encontrar, com a expressão (I), que deixamos "guardadinha" logo no início. E, para facilitar a comparação, vamos escrever uma embaixo da outra. Fazendo isso, teremos:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = r²                    
(x-2)² + (y-2,5)² = 3,5²

Note que, pela comparação acima, já concluímos que o centro (C) e o raio (r) da circunferência da sua questão são estes:

C(2; 2,5) e r = 3,5  <--- Esta é a resposta.

Note que se você quiser deixar os números decimais em forma de fração, então é só saber que 2,5 = 5/2 e que 3,5 = 7/2. Assim, a resposta também poderia ser dada da seguinte forma, o que é equivalente à resposta acima:

C(2; 5/2) e r = 7/2 <---- A resposta também poderia ser dada desta forma.

Assim, você escolhe qual a resposta quer apresentar, dependendo das opções fornecidas pela questão, ok?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.