Question

De exemplos de a㏒aᵇ= b

Answer 1

Oi! Irei explicar a origem dessa propriedade e darei alguns exemplos ao final.

Origem:

Para chegarmos à conclusão de que $a^{\log_ab}=b$, precisamos conhecer a definição de logaritmo.

Definição: $\log_ab=c~\rightarrow~a^c=b$

É correto dizer que $\log_ab=\log_ab$, pois são duas expressões iguais. Se aplicarmos a definição de log nessa equação teremos:

$\log_ab=\log_ab\\\\a^{\log_ab}=b$

Observe que nessa expressão ($\log_ab=\log_ab$) o $\log_ab$ da direita exerce a função de c na definição.

Exemplos:

1. $2^{\log_24}=2^2=4$

Nesse exemplo, poderíamos aplicar direto a propriedade ou resolvê-lo passo-a-passo como eu fiz.

2. $8^{\log_23}=(2^3)^{\log_23}=2^{3\log_23}=2^{\log_23^3}=3^3=27$

Primeiro, precisávamos deixar a base da potência igual a base do log. Depois, ficamos com um potência de potência, e a seguinte propriedade foi aplicada: $(x^a)^b=x^{a\cdot{b}}$. Em seguida, o 3 estava multiplicando o log, então a propriedade $\log_ab^k=k\log_ab$ foi utilizada. E por fim, aplicamos a nossa propriedade em questão e obtemos o resultado 27.

3. $(x+4)^{\log_{(x+4)}{12}}=12$

4. $123^{\log_{123}{(x^3+2x^2-7)}}=x^3+2x^2-7$

5. $216^{\log_62}=(6^3)^{\log_62}=6^{3\log_62}=6^{\log_62^3}=2^3=8$

Questão resolvida da mesma forma que o exemplo 2.

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Obs.: Vou deixar uma listinha com várias propriedades que vão te auxiliar nessa matéria.

$\boxed{\log_ab=c~\rightarrow~a^c=b}$

1. $\log_a{(b\cdot{c})}=\log_ab+\log_ac$

2. $\log_a{(\frac{b}{c})}=\log_ab-\log_ac$

3. $\log_ab^k=k\log_ab$

4. $\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}$

5. $\log_ab=\dfrac{1}{\log_ba}$

(Consequência da propriedade 4)

6. $\log_ca\cdot\log_ab=\log_cb$

(Consequência da propriedade 4)

7. $a^{\log_ab}=b$

(Consequência da definição)

Espero ter ajudado. Qualquer dúvida pode deixar nos comentários. Bons estudos! ♥