Question

Dê exemplo de uma sequência {an} ; não constante, para ilustrar cada situação abaixo:
(a) limitada e crescente (b) limitada e decrescente
(c) limitada e não monótona (d) não limitada e não crescente
(e) não limitada e não monótona (f) monótona e não limitada.

Answer 1

a) $a_{n}=\mathrm{arctg}(n)$

$\bullet\;\;a_{n}$ é limitada, pois para todo $n \geq 0,$

$0\leq \mathrm{arctg}(n)<\dfrac{\pi}{2}.$


$\bullet\;\;a_{n}$ é crescente pois a função arco-tangente em si é uma função crescente:

$\mathrm{arctg}(n+1)>\mathrm{arctg}(n)\;\;\Leftrightarrow\;\;a_{n+1}> a_{n}.$


b) $a_{n}=\dfrac{1}{n}$
 
$\bullet\;\;a_{n}$ é limitada, pois para todo $n \geq 1,$

$0<\dfrac{1}{n}\leq 1.$


$\bullet\;\;a_{n}$ é decrescente, pois para todo $n \geq 1,$

$\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}\;\;\Leftrightarrow\;\;a_{n+1}<a_{n}.$


c) $a_{n}=(-1)^{n}$

$\bullet\;\;a_{n}$ é limitada, pois para todo $n \geq 0,$

$-1\leq (-1)^{n}\leq 1$


$\bullet\;\;a_{n}$ não é monótona, pois ela oscila entre os valores $1$ e $-1:$

$a_{2k}=1\;\;\text{ e }\;\;a_{2k+1}=-1\,,\;\;\;\;(k \in \mathbb{N}).$


d) $a_{n}=-n$

$\bullet\;\;a_{n}$ não é limitada pois $a_{n}\to -\infty,$ para valores avançados de $n.$

$\bullet\;\;a_{n}$ é uma sequência não crescente, pois para todo $n\geq 0,$

$-(n+1)\leq -n\;\;\Leftrightarrow\;\;a_{n+1}\leq a_{n}.$


e) $a_{n}=n\cdot (-1)^{n}$

$\bullet\;\;a_{n}$ não é limitada, pois $|a_{n}|\to \infty,$ para valores avançados de $n.$


$\bullet\;\;a_{n}$ não é monótona, pois os termos de ordem par são números não-negativos, e os termos de ordem ímpar são negativos:

$a_{2k}\geq 0\;\;\text{ e }a_{2k+1}<0\,,\;\;\;\;(k \in \mathbb{N}).$


f) $a_{n}=2^{n}$

$\bullet\;\;a_{n}$ é monótona, pois para todo $n \geq 0,$

$2^{n+1}\geq 2^{n}\;\;\Leftrightarrow\;\;a_{n+1}\geq a_{n}.$


$\bullet\;\;a_{n}$ não é limitada, pois $a_{n}\to \infty$ para valores avançados de $n.$