Question

De dois observatórios, localizados em dois pontos X e Y da superfície da Terra, é possível enxergar um balão meteorológico B, sob ângulos de 45° e 60°, conforme é mostrado na figura abaixo. (imagem abaixo) Desprezando-se a curvatura da Terra, se 30 km separam X e Y, a altura h, em quilômetros, do balão à superfície da Terra, é
a) 30 - 15v3 b) 30 + 15v3 c) 60 - 30v3 d) 45 - 15v3 e) 45 + 15v3

Answer 1

Triângulo XZB: retângulo e isósceles 
XZ = h

Triângulo BZY:
 ZY = 30 - h  ⇒ XY = 30


$tg60^{\circ} = \dfrac{\textrm{cateto oposto a 60}^{\circ}}{\textrm{cateto adjacente a 60}^{\circ}}$

$tg60^{\circ}= \dfrac{h}{30-h} \\ \\ \sqrt{3}=\dfrac{h}{30-h} \\ \\ h= \sqrt{3} \cdot (30-h) \\ \\ h=30 \sqrt{3}-h \sqrt{3} \\ \\ h+h \sqrt{3}= 30 \sqrt{3 } \\ \\ h(1+ \sqrt{3})=30 \sqrt{3} \\ \\ h= \dfrac{30 \sqrt{3} }{1+ \sqrt{3} } \\ \\ h= \dfrac{30 \sqrt{3} }{1+ \sqrt{3} } \cdot \dfrac{ \sqrt{3}-1 }{ \sqrt{3}-1 } \\ \\ h= \dfrac{30 \sqrt{3 \cdot 3}-30 \sqrt{3} }{1 \sqrt{3}-1+ \sqrt{3 \cdot 3}-1 \sqrt{3} } \\ \\ h= \dfrac{30 \sqrt{9}-30 \sqrt{3} }{-1+ \sqrt{9} }$

$h= \dfrac{30 \cdot 3-30 \sqrt{3} }{-1+ 3} \\ \\ h= \dfrac{90-30 \sqrt{3} }{2} \\ \\ h= \dfrac{90}{2}- \dfrac{30 \sqrt{3} }{2} \\ \\ \boxed{h=45-15 \sqrt{3} }$


Resposta: d) 45 - 15√3

Bons estudos!