De acordo com seu conhecimento sobre módulo.
Desenvolva o módulo 97 de 003304215100022011030555112712
Soluções para a tarefa
Resposta: O resto da divisão é 28.
Explicação passo a passo:
Encontrar o resto da divisão do número
3 304 215 100 022 011 030 555 112 712
por 97.
Proposição 1: Sejam a, b, k, p, r naturais, com mdc(10, p) = 1. Sendo x um representante da classe inversa de módulo p, vale
se a + xb ≡ r (mod p), então a + b ≡ r (mod p).
Demonstração: Muliplique os dois lados da congruência por
a + xb ≡ r (mod p)
Por hipótese, x ≡ 1 mod p). Logo, temos
As seguintes afirmações são casos particulares da proposição 1, com k ∈ {1, 2, 4, 7, 14} e p = 97:
Omitirei os passos para obter os valores de e do resíduo de nas implicações acima, pois envolve várias manipulações de congruências, o que ultrapassaria o limite de caracteres.
Tomemos
Para aplicar (v), decomponha em duas partes cada uma com 14 dígitos:
sendo = 33 042 151 000 220 e = 11 030 555 112 712.
Multiplicando por 11 e somando obtemos um novo número
é um número de 15 dígitos.
Para aplicar (iv), decomponha em duas partes, uma com 8 e outra com 7 dígitos:
sendo e
Multiplicando por 60 e somando obtemos um novo número:
é um número de 9 dígitos.
Para aplicar (iii), decomponha em duas partes, uma com 5 e outra com 4 dígitos:
sendo e
Multiplicando por 54 e somando obtemos um novo número:
é um número de 5 dígitos.
Para aplicar (ii), decomponha em duas partes, uma com 3 e outra com 2 dígitos:
sendo e
Multiplicando por 65 e somando obtemos um novo número:
é um número de 4 dígitos.
Como último dígito de é zero, ao aplicar (i) o próximo número obtido será
com e
Agora temos que efetuar a divisão de 187 por 97 e retornar no algoritmo até o número inicial.
Finalmente, temos
Logo, o resto procurado é 28.
Bons estudos! :-)