Question

De acordo com os conteúdos do livro-base
sobre Álgebra Linear, seja a matriz A = |0 -1 2 3 |
São autovetores de A, os vetores:

. Â (—1, 2) e (—1, 1)

“.B (—1, —2)e (1, 1)

. C(22) e(1, —1)

.D(2,-1) e (l, —1)

2 E (3, — 1) e (-1, — 1)

Answer 1

Estou supondo que a matriz é

$A = \left[\begin{array}{rr}0&-1\\2&3\end{array}\right]$

Primeiro calculamos os autovalores de A. O polinômio característico é

$p(t) = \det(A-tI) = \left|\begin{array}{cc}-t&-1\\2&3-t\end{array}\right| = t^2 - 3t+2$

Assim, os autovalores de A são 2 e 1

Seja v = (a,b) um autovetor correspondente ao autovalor 1. Então (A-I)v = 0

\$\left[\begin{array}{cc}-1&-1\\2&2\end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} a\\b \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right] \Rightarrow a+b = 0$

Logo v = a(1,-1).

Da mesma forma, seja w = (c,d) um autovetor correspondente ao autovalor 2. Então (A-2I)w = 0

$\left[\begin{array}{cc}-2&-1\\2&1\end{array}\right] \left[ \begin{array}{c} c\\d \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right] \Rightarrow 2c+d = 0$

Logo w = c(1,-2)

Portanto, a resposta correta é o item A.

Obs.: Como a questão é de marcar, pode ser feita por eliminação. Você pode conferir diretamente que (1,1) não é autovetor, e o mesmo para as demais opções incorretas