Question

De acordo com o aprendizado da unida-
de 1, a função quadrática é definida por
f(x) = ax? + bx + C. Sabendo que f(0) = 1,
f(1) = 6 e f(-1) = 0, pede-se:
a) Os coeficientes a, b ec.
b) Os valores de x para imagem igual a 1.
c) A quantidade de raízes reais da função f(x).
d) O valor de f(2).

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

.

.     Função quadrática da forma:

.

.       f(x)  =  ax²  +  bx  +  c

.

TEMOS:   f(0)  =  1     ==>  c  =  1

.

.                f(1)  =  6  ==>  a  +  b  =  c  =  6

.                                       a  +  b  +  1  =  6

.                                       a  +  b  =  6 - 1            ==>   a  +  b  =  5    (*)

.                f(- 1)  =  0  ==>  a  -  b  +  c  =  0

.                                          a  -  b  +  1  =  0       ==>   a  -  b  =  - 1   (**)

.

SOMANDO (*)  +  (**)  ==>   2.a  =  4   ==>   a  =  2

a  +  b  =  5

2  +  b  =  5

b  =  5  -  2    ==>   b  =  3

.

A FUNÇÃO:    f(x)  =  2x²  +  3x  +  1

.

a)  coeficientes:    a = 2,    b = 3,     c = 1

.

b)  f(x)  =  1  ==>   2x²  +  3x  +  1  =  1

.                            2x²  +  3x  +  1  -  1  =  0

.                            2x²  +  3x  =  0       (equação 2º grau incompleta)

==>  x . (2x  +  3)  =  0

.       x  =  0     OU    2x  +  3  =  0

.                                2x  =  - 3

.                                x  =  - 3/2                 (0,  - 3/2)

.

c)  f(x)  =  0   ==>  2x²  +  3x  +  1  =  0

.     Δ  =  3²  -  4 . 2 . 1  =  9  -  8  =  1

x  =  (- 3  ±  √1) / 2 . 2   =   (- 3  ±  1) / 4

.

x'  =  ( - 3  +  1 ) / 4  =  - 2 / 4  =  - 1/2

x" =  (  - 3 - 1) / 4  =  - 4 / 4  =  - 1            (DUAS RAÍZES:  - 1/2  e  - 1)

.

d)  f(2)  =  2 . 2²  +  3 . 2  +  1

.            =   2 . 4  +  6  +  1

.            =   8  +  7

.            =   15

.

(Espero ter colaborado)

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

a)

• $\sf f(0)=1$

$\sf a\cdot0^2+b\cdot0+c=1$

$\sf 0+0+c=1$

$\sf c=1$

• $\sf f(1)=6$

$\sf a\cdot1^2+b\cdot1+1=6$

$\sf a+b=6-1$

$\sf a+b=5$

• $\sf f(-1)=0$

$\sf a\cdot(-1)^2+b\cdot(-1)+1=0$

$\sf a-b=-1$

Podemos montar o sistema:

$\sf \begin{cases}\sf a+b=5 \\ \sf a-b=-1 \end{cases}$

Somando as equações membro a membro:

$\sf a+a+b-b=5-1$

$\sf 2a=4$

$\sf a=\dfrac{4}{2}$

$\sf a=2$

Substituindo na primeira equação:

$\sf 2+b=5$

$\sf b=5-2$

$\sf b=3$

Logo, $\sf f(x)=2x^2+3x+1$

$\sf \red{a=2},~\red{b=3},~\red{c=1}$

b)

$\sf 2x^2+3x+1=1$

$\sf 2x^2+3x+1-1=0$

$\sf 2x^2+3x=0$

$\sf x\cdot(2x+3)=0$

• $\sf \red{x'=0}$

• $\sf 2x+3=0~\Rightarrow~2x=-3~\Rightarrow~\red{x"=\dfrac{-3}{2}}$

c)

$\sf 2x^2+3x+1=0$

$\sf \Delta=3^2-4\cdot2\cdot1$

$\sf \Delta=9-8$

$\sf \Delta=1$

Como $\sf \Delta > 0$, a função possui 2 raízes reais

d)

$\sf f(x)=2x^2+3x+1$

$\sf f(2)=2\cdot2^2+3\cdot2+1$

$\sf f(2)=2\cdot4+6+1$

$\sf f(2)=8+6+1$

$\sf \red{f(2)=15}$