Question

De acordo com cada par de retas em cada item, identifique os coeficientes angulares e diga se as retas são paralelas ou concorrentes: A) r: 2x + y - 3 = 0 e s: 3x + y - 3 = 0 B) t: 6x + 3y - 9 = 0 e u: 4x + 2y + 8 = 0 C) v: 5x + y + 4 = 0 e z: 15x + 3y + 6 = 0

Answer 1

Olá, boa tarde

Para determinarmos se as retas são paralelas ou concorrentes em cada caso, devemos observar seus coeficientes angulares.

Dadas as equações gerais das retas de forma $ax+by+c=0$, podemos reescrevê-las na forma reduzida $y=mx+n$, tal que $m=-\dfrac{a}{b}$ e $n=-\dfrac{c}{b}$.

Ao fazermos isto, sabendo que duas retas são paralelas quando $m_1=m_2$, ou seja, quando seus coeficientes angulares são iguais, também saberemos se são concorrentes caso sejam diferentes.

Analisemos cada alternativa separadamente:

a) $r:2x+y-3=0$ e  $s:3x+y-3=0$

Encontre as formas reduzidas, isolando $y$

$r:y=-2x+3$ e $s:y=-3x+3$

Como podemos ver, seus coeficientes angulares são $m_r=-2$ e $m_s=-3$.

Dessa forma, afirmamos que as retas $r$ e $s$ são concorrentes.

b) $t: 6x + 3y - 9 = 0$ e $u: 4x + 2y + 8 = 0$

Repetimos o processo para encontrarmos a forma reduzida da equação

$t: y=-\dfrac{6}{3}\cdot x+\dfrac{9}{3}$ e $u: y=-\dfrac{4}{2}\cdot x-\dfrac{8}{2}$

Simplifique as frações

$t: y=-2x+3$ e $u: y=-2x-4$

Como podemos ver, seus coeficientes angulares são $m_t=-2$ e $m_u=-2$

Dessa forma, afirmamos que as retas $t$ e $u$ são paralelas.

c) $v: 5x + y + 4 = 0$ e $z: 15x + 3y + 6 = 0$

Repetimos o processo para encontrarmos a forma reduzida da equação

$v: y = -5x-4$ e $z: y = -\dfrac{15}{3}\cdot x-\dfrac{6}{3}$

Simplifique as fraçoes

$v: y = -5x-4$ e $z: y = -5x-2$

Como podemos ver, seus coeficientes angulares são $m_v=-5$ e $m_z=-5$

Dessa forma, afirmamos que as retas $v$ e $z$ são paralelas.

Observe os gráficos em anexo: As retas foram esboçadas no plano e podemos ver que as retas $r$ e $s$ são concorrentes, e as retas $t$ e $u$ e $v$ e $z$ são paralelas.