Question

Dê a solução geral para a equação: dy/dx=e^(2x+y)

Answer 1

Resposta:

$\mathsf{y=\ell n\,\bigg(\dfrac{2}{C-e^{2x}}\bigg)}$

Explicação passo-a-passo:

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• Essa tarefa é sobre equação diferencial ordinária, ou simplesmente EDO.

• Nesse tipo de problema estamos interessados em determinar uma função y = y(x) que satisfaça a igualdade.

Sem mais delongas, bora para a solução!

Solução:

1. Queremos determinar a solução da EDO:

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=e^{2x+y}}$

2. Aplique a propriedade de potências e mesma base do lado direito da equação:

$\mathsf{\dfrac{dy}{dx}=e^{2x}\cdot e^y}}$

3. Essa é uma EDO separável. Vamos reescrevê-la no formato f(x) dx = g(y) dy. Logo:

$\mathsf{\dfrac{dy}{e^y}=e^{2x}\,dx\quad\rightarrow\quad e^{-y}\,dy=e^{2x}\,dx}$

4. Integre os dois lados da equação:

$\mathsf{\displaystyle \int e^{-y}\,dy=\displaystyle \int e^{2x}\,dx}\\\\\mathsf{-e^{-y}+c_1=\dfrac{e^{2x}}{2}+c_2}\\\\\mathsf{e^{-y}=-\dfrac{e^{2x}}{2}+C'}$

5. Aplique o logaritmo natural dos dois lados da igualdade:

$\mathsf{\ell n\,(e^{-y})=\ell n\,\bigg(-\dfrac{e^{2x}}{2}+C'\bigg)}\\\\\mathsf{y=-\ell n\,\bigg(-\dfrac{e^{2x}}{2}+C'\bigg)}\\\\\mathsf{y=\ell n\,\bigg(\dfrac{1}{C'-\frac{e^{2x}}{2}}\bigg)}}\\\\\\\therefore \boxed{\mathsf{y=\ell n\,\bigg(\dfrac{2}{C-e^{2x}}\bigg)}}\quad\mathsf{onde\quad C=2C'}$

Continue aprendendo com o link abaixo:

EDO Separável

https://brainly.com.br/tarefa/33080735

Bons estudos! :D

Equipe Brainly