Question

Dê a representação geométrica e a forma trigonométrica dos seguintes números complexos:

a) √3 + i

b) −√3 + i

Answer 1

Após a realização dos cálculos, podemos concluir que a forma trigonométrica dos números complexos são

a)

$\sf z=2\bigg[cos\bigg(\dfrac{\pi}{6}\bigg)+i\,sen\bigg(\dfrac{\pi}{6}\bigg)\bigg]$

b)

$\sf z=2\bigg[ cos\bigg(\dfrac{5\pi}{3}\bigg)+i\,sen\bigg(\dfrac{5\pi}{3}\bigg)\bigg]$

A representação geométrica está  anexo

Módulo de um número complexo

Dado um número complexo da forma z=a+bi, onde $\sf a,b\in\mathbb{R}$ o módulo de z é dado por

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf \rho=\sqrt{a^2+b^2}}}}}$

Argumento de um número complexo

É o ângulo $\sf \theta$ tal que

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf cos(\theta)=\dfrac{a}{\rho}\\\\\sf sen(\theta)=\dfrac{b}{\rho}\end{array}}$

Forma trigonométrica de um número complexo

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf z=\rho[cos(\theta)+i\,sen(\theta)]}}}}$

Vamos a resolução do exercício

a) Aqui vamos encontrar o módulo e em seguida o argumento do número complexo para em seguida representá-lo no plano de Argand-Gauss

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf z=\sqrt{3}+i\implies\begin{cases}\sf a=\sqrt{3}\\\sf b=1\end{cases}\\\sf \rho=\sqrt{a^2+b^2}\\\sf \rho=\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}\\\sf \rho=\sqrt{3+1}\\\sf\rho=\sqrt{4}\\\sf \rho=2\\\begin{cases}\sf cos(\theta)=\dfrac{a}{\rho}\\\\\sf cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\\\\sf sen(\theta)=\dfrac{b}{\rho}\\\\\sf sen(\theta)=\dfrac{1}{2}\end{cases}\implies\sf \theta=\dfrac{\pi}{6}\end{array}}$

A forma trigonométrica será

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf z=2\bigg[cos\bigg(\dfrac{\pi}{6}\bigg)+i~sen\bigg(\dfrac{\pi}{6}\bigg)\bigg]}}}}$

b) analogamente teremos:

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf z=-\sqrt{3}+i\implies\begin{cases}\sf a=-\sqrt{3}\\\sf b=1\end{cases}\\\sf\rho=\sqrt{a^2+b^2}\\\sf \rho=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2}\\\sf\rho\sqrt{3+1}\\\sf\rho=\sqrt{4}\\\sf\rho=2\\\begin{cases}\sf cos(\theta)=\dfrac{b}{\rho}\\\\\sf cos(\theta)=\dfrac{1}{2}\\\\\sf sen(\theta)=\dfrac{a}{\rho}\\\\\sf sen(\theta)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}\implies \sf \theta=\dfrac{5\pi}{3}\end{array}}$

A forma trigonométrica será

$\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf z=2\bigg[ cos\bigg(\dfrac{5\pi}{3}\bigg)+i\,sen\bigg(\dfrac{5\pi}{3}\bigg)\bigg]}}}}$

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