Question

Dê a equação geral e reduzida da reta:


A reta passa pelos pontos A(-1 , -2) e B(5 , 2)

Answer 1

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☞ E.R.: y = (2x - 4)/3; E.G.: 3y - 2x + 4 = 0✅

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$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O~PASSO{-}A{-}PASSO~~~}}$✍

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☔Oi, Killua. Inicialmente  temos que a equação reduzida da reta é da forma

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf y = a \cdot x + b}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{a}}$ sendo o coeficiente angular da reta;

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{b}}$ sendo o coeficiente linear da reta.

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☔ Sabemos que por um único ponto passam infinitas retas porém por dois pontos passa somente uma reta (na geometria plana Euclidiana). Portanto podemos montar um sistema de duas variáveis e duas equações, uma para cada ponto, da forma

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$\Large\begin{cases}\blue{\sf~ -2 = a \cdot (-1) + b}\\\\ \blue{\sf~ 2 = a \cdot 5 + b} \end{cases}$

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☔ Subtraindo ambas as equações obtemos

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➡ $\large\blue{\sf -2 - 2 = -a - 5a + b - b}$

➡ $\large\blue{\sf -4 = -6a }$

➡ $\large\blue{\sf a = \dfrac{-4}{-6} }$

➡ $\large\blue{\sf a = \dfrac{2}{3} }$

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☔ Substituindo o valor de a em uma das equações (usemos a primeira) obtemos que

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➡ $\large\blue{\sf -2 = \dfrac{2 \cdot (-1)}{3} + b }$

➡ $\large\blue{\sf -2 = \dfrac{-2}{3} + b }$

➡ $\large\blue{\sf b = -2 + \dfrac{2}{3} }$

➡ $\large\blue{\sf b = \dfrac{-6}{3} + \dfrac{2}{3} }$

➡ $\large\blue{\sf b = \dfrac{-6 + 2}{3} }$

➡ $\large\blue{\sf b = \dfrac{-4}{3} }$

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☔ Com isso temos que nossa equação reduzida é da forma

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{y}~\pink{=}~\blue{ \dfrac{2x - 4}{3} }~~~}}$ ✅

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☔ Com nossa equação reduzida podemos facilmente encontrar nossa equação geral da reta isolando todos os termos de um lado da igualdade restando assim somente o 0 do outro lado:

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$\LARGE\blue{\sf 3y = 2x - 4 }$

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$\LARGE\blue{\sf 3y - 2x + 4 = 0 }$

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$\huge\green{\boxed{\rm~~~\gray{3y - 2x + 4}~\pink{=}~\blue{ 0 }~~~}}$ ✅

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✋ Como o coeficiente angular é a tangente do ângulo formado entre a reta e o eixo das abscissas (x), da esquerda para a direita, poderíamos ter inicialmente encontrado o a da nossa reta através da relação

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf a = tg(\alpha) = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\vector(1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,1){5}}\put(0,0){\vector(-1,0){5}}\put(0,0){\vector(0,-1){5}}\put(4.8,0.2){x}\put(0.2,4.8){y}\put(-3,1){\line(5,3){5}}\put(-3,1){\circle*{0.13}}\put(2,4){\circle*{0.13}}\put(2,1){\circle*{0.13}}\bezier{20}(2,4)(2,2.5)(2,1)\bezier{35}(-3,1)(-0.5,1)(2,1)\put(-3.7,1){\LARGE \sf A }\put(2.5,4){\LARGE \sf B }\put(2.3,2.4){\Large \sf \Delta y }\put(-1,0.4){\Large \sf \Delta x }\bezier(-2,1.55)(-1.7,1.5)(-1.7,1)\put(-2.3,1.1){ \sf \alpha }\end{picture}$

$\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\Large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\gray{"Absque~sudore~et~labore~nullum~opus~perfectum~est."}$

Answer 2

• A equação reduzida da reta é na forma y = mx + n, onde:

m: coeficiente angular

n: coeficiente linear

• Conhecendo-se dois pontos pertencentes à reta, o coeficiente angular é obtido por:

$\large \sf m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$

• Para os pontos A(−1, −2) e B(5, 2)​:

$\large \sf m = \dfrac{2 - (-2)}{5-(-1)} = \dfrac{4}{6}$

$\large \sf m = \dfrac{2}{3}$

• Portanto obtêm-se a reta:

$\large \sf y = \dfrac{2}{3}x + n$

• O valor do coeficiente linear (n) pode ser determinado substituindo as coordenadas de qualquer um dos pontos na equação:

$\large \sf y = \dfrac{2}{3}x + n$ ⇒ Substitua as coordenadas do ponto B(5, 2).

$\large \sf 2 = \dfrac{2}{3} \cdot 5 + n$

$\large \sf 2 = \dfrac{10}{3} + n$

$\large \sf n = 2 -\dfrac{10}{3}$

$\large \sf n = \dfrac{6}{3} -\dfrac{10}{3}$

$\large \sf n = -\dfrac{4}{3}$

• Portanto a equação reduzida da reta é:

$\large \sf y = \dfrac{2}{3} \cdot x -\dfrac{4}{3}$

• A equação geral da reta é na forma ax + by + c = 0.

$\large \sf y = \dfrac{2}{3} \cdot x -\dfrac{4}{3}$  ⟹ Multiplique ambos os membros por 3.

3y = 2x − 4

3y − 2x + 4 = 0

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