Question

De a equação geral da reta que passa por A e B nos casos:
a) A (0,0) e b(5, -2)
b) A(-2, 3) e B(1,4)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Rafael, que a resolução é simples.
Pede-se a equação geral das retas que passam pelos pontos A e B nos seguintes casos:

a) A(0; 0); e B(5; -2) .

Antes veja que uma reta que passe em dois pontos A(x₀; y₀) e B(x₁; y₁) tem o seu coeficiente angular (m) calculado da seguinte forma:

m = (y₁-y₀)/(x₁-x₀)

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então o coeficiente angular (m) da reta que passa nos pontos A(0; 0) e B(5; -2) será calculado assim:

m = (-2-0)/(5-0)
m = (-2)/(5)
m = - 2/5 <--- Este será o coeficiente angular da reta que passa nos pontos A(0; 0) e B(5; -2).

Agora veja: quando já se conhece o coeficiente angular (m) de uma reta e apenas um dos pontos por ela passa (x₀; y₀) , então a sua equação será encontrada da seguinte forma (veja que, para encontrar a equação da reta, já se conhecendo o coeficiente angular, então basta que utilizemos apenas um dos pontos por onde ela passa):

y - y₀ = m*(x - x₀)

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a reta que tem coeficiente angular igual a "-2/5" (m = - 2/5) terá a sua equação encontrada da seguinte forma [vamos utilizar o ponto A(0; 0)].

y - 0 = (-2/5)*(x - 0) --- ou, o que é a mesma coisa:
y = (-2/5)*(x) ------ ou, ainda, o que é a mesma coisa:
y = - 2x/5 ------ multiplicando-se em cruz, teremos:
5*y = - 2x
5y = - 2x ---- passando-se o 2º membro para o 1º teremos:
5y + 2x = 0 ---- ordenando, teremos:
2x + 5y = 0 <--- Esta é a equação geral da reta que passa nos pontos A(0; 0) e B(5; -2).

b) A(-2; 3) e B(1; 4)

Vamos calcular o coeficiente angular (m), pela fórmula que você já viu antes na resolução da questão do item "a".

m = (4-3)/(1-(-2))
m = (1)/(1+2)
m = (1)/(3) --- ou:
m = 1/3 <--- Este é o coeficiente angular da reta que passa nos pontos A(-2; 3) e B(1; 4).

Agora vamos encontrar qual é a equação geral da reta que passa nos dois pontos dados. Como já conhecemos o coeficiente angular (m = 1/3), então vamos utilizar apenas um dos pontos (vamos utilizar o ponto B(1; 4)). Assim, aplicando a fórmula que você já viu antes, quando a utilizamos para encontrar a equação do item "a", teremos:

y - 4 = (1/3)*(x - 1) ---- veja que isto é a mesma coisa que:
y - 4 = 1*(x - 1)/3 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
3*(y-4) = 1*(x-1) ---- efetuando-se os produtos indicados, teremos:
3y - 12 = x - 1 ---- passando, agora, todo o 1º membro para o 2º, teremos:
0 = x - 1 - 3y + 12 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
0 = x - 3y + 11 ---- ou, invertendo-se:
x - 3y + 11 = 0 <--- Esta é a equação geral da reta que passa nos pontos A(-2; 3) e B(1; 4).

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.