Question

Das pessoas entrevistadas: -40 frequentam regularmente cinema;-12 frequentam regularmente cinema e teatro;-46 frequentam apenas um desses tipos de entretenimento:-16 não frequentam cinema,nem teatro.Foram entrevistadas:

Answer 1

Seja $U$ o conjunto de todas as pessoas que foram entrevistadas. Sendo assim, temos que


$A$ é o conjunto das pessoas que frequentam regularmente cinema;

$B$ é o conjunto das pessoas que frequentam regularmente teatro.


Observe o diagrama de Venn em anexo. Os números indicados em cada parte do diagrama correspondem ao número de pessoas correspondente à aquela parte.

Denotando por $\mathrm{n}$ o número de elementos de cada conjunto, utilizando as informações de enunciado podemos escrever:

$\begin{array}{lrclc} \bullet&\mathrm{n}\left(A \right )&=&40&\;\;\;\text{(i)}\\\ \\ \bullet&\mathrm{n}\left(A \cap B \right )&=&12&\;\;\;\text{(ii)}\\ \\ \bullet&\mathrm{n}\left(A-B \right )+\mathrm{n}\left(B-A\right)&=&46&\;\;\;\text{(iii)}\\ \\ \bullet&\mathrm{n}\left(U \right )-\mathrm{n}\left(A \cup B \right )&=&16&\;\;\;\text{(iv)} \end{array}$


a) Encontrando o número de pessoas que frequentam regularmente apenas cinema, mas não teatro, ou seja, $\mathrm{n}\left(A-B \right )$:

$\mathrm{n}\left(A-B \right )+\mathrm{n}\left(A \cap B \right )=\mathrm{n}\left(A \right )\\ \\ \mathrm{n}\left(A-B \right )=\mathrm{n}\left(A \right )-\mathrm{n}\left(A \cap B \right )\\ \\ \mathrm{n}\left(A-B \right )=40-12\\ \\ \mathrm{n}\left(A-B \right )=28\;\;\;\text{(v)}$


b) Encontrando o número de pessoas que frequentam regularmente teatro, ou seja, $\mathrm{n}\left(B \right )$:

$\mathrm{n}\left(B \right )=\mathrm{n}\left(B-A \right )+\mathrm{n}\left(A \cap B \right )$


Somando $\mathrm{n}\left(A-B \right )$ aos dois lados da igualdade acima, temos

$\mathrm{n}\left(A-B \right )+\mathrm{n}\left(B \right )=\underbrace{\mathrm{n}\left(A-B \right )+\mathrm{n}\left(B-A \right )}_{46}+\mathrm{n}\left(A \cap B \right )\\ \\ 28+\mathrm{n}\left(B \right )=46+12\\ \\ \mathrm{n}\left(B \right )=46+12-28\\ \\ \mathrm{n}\left(B \right )=30\;\;\;\text{(vi)}$


c) Encontrando o número de pessoas que frequentam regularmente apenas teatro, mas não cinema, ou seja, $\mathrm{n}\left(B-A \right )$:

$\mathrm{n}\left(B-A \right )+\mathrm{n}\left(A \cap B \right )=\mathrm{n}\left(B \right )\\ \\ \mathrm{n}\left(B-A \right )=\mathrm{n}\left(B \right )-\mathrm{n}\left(A \cap B \right )\\ \\ \mathrm{n}\left(B-A \right )=30-12\\ \\ \mathrm{n}\left(B-A \right )=18\;\;\;\text{(vii)}$


d) Encontrando o número de pessoas que frequentam regularmente ou cinema, ou teatro (ou os dois), ou seja, $\mathrm{n}\left(A \cup B \right )$:

$\mathrm{n}\left(A \cup B \right )=\mathrm{n}\left(A \right)+\mathrm{n}\left(B \right)-\mathrm{n}\left(A \cap B \right)\\ \\ \mathrm{n}\left(A \cup B \right )=40+30-12\\ \\ \mathrm{n}\left(A \cup B \right )=58\;\;\;\text{(viii)}$


e) Finalmente, encontramos o número de elementos de $U$, pela equação $\text{(iv)}$:

$\mathrm{n}\left(U \right )-\mathrm{n}\left(A \cup B \right )=16\\ \\ \mathrm{n}\left(U \right )=16+\mathrm{n}\left(A \cup B \right )\\ \\ \mathrm{n}\left(U \right )=16+58\\ \\ \mathrm{n}\left(U \right )=74$


Logo, foram entrevistadas $74$ pessoas.