Question

Daniel e Thiago são amigos e gostam muito de Matemática. Daniel propôs um desafio a Thiago. Eles criaram uma espécie de jogo que funciona da seguinte forma:

Daniel pensa em dois números inteiros. Depois, ele diz a Thiago quanto valem a soma e o produto dos dois números que ele pensou. Em seguida, Daniel desafia Thiago para que ele dê o valor da soma das quintas potências dos dois números que Daniel pensou.

a) Se a soma e o produto ditos por Daniel forem respectivamente iguais a 15 e 54, que número Thiago deve responder para que cumpra corretamente o desafio proposto por Daniel?

b) Se a soma e o produto ditos por Daniel forem respectivamente $p$ e $q,$ escreva, em função de $p$ e $q,$ a expressão algébrica que fornece o número que Thiago deve responder para cumprir o desafio proposto (simplifique ao máximo a expressão encontrada).
$~$

Answer 1

$Sejam\\\\\bullet x\ e\ y\ os\ n\'umeros\ pensados\ por\ Daniel\\\bullet{}N\ o\ valor\ da\ soma\ das\ quintas\ pot\^encias\ dos\ dois\ n\'umeros\\\\O\ n\'umero\ que\ Thiago\ dever\'a\ responder\ \'e\\\\n=x^5+y^5$

$a)\\\\\big_{\left \{ {{x+y=15} \atop {xy=54}} \right.} \\\\y=15-x\\\\x\cdot(15-x)=54\\15x-x^2=54\\x^2-15x+54=0\\\\\Delta=b^2-4ac\\\Delta=(-15)^2-4\cdot1\cdot54\\\Delta=225-216\\\Delta=9\\\\\\x= \dfrac{-b \frac{+}{-} \sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\x= \dfrac{-(-15) \frac{+}{-} \sqrt{9}}{2}\\\\\\x= \dfrac{15 \frac{+}{-}3}{2}\\\\\\x'= \dfrac{18}{2}\\\\x'=9\\\\x"= \dfrac{12}{2}\\\\\\x"=6$
$x+y=15\\\\Logo,\ para\ x=6,\ temos\ y=9\ e\ para\ x=9,\ temos\ y=6\\\\N=x^5+y^5\\N=6^5+9^5\\N=7776+59049\\\boxed{N=66825}$

$b)\\\\\bigg_\left \{ {{x+y=p} \atop {xy=q}} \right. \\\\Resolvendo\ o\ sistema\\\\y=p-x\\\\x\cdot{(p-x)}=q\\px-x^2=q\\x^2-px+q=0\\\\\Delta=b^2-4ac\\\Delta=(-p)^2-4\cdot(1)\cdot(q)\\\Delta=p^2-4q\\\\x= \dfrac{-b \frac{+}{-}\sqrt{\Delta}}{2a}\\\\\\x= \dfrac{p \frac{+}{-}\sqrt{p^2-4q}}{2}\\\\\\x'= \dfrac{p+ \sqrt{p^2-4q} }{2}\\\\\\x"= \dfrac{p- \sqrt{p^2-4q} }{2}\\\\\\Para\ x=\dfrac{p+ \sqrt{p^2-4q} }{2},\ y= \dfrac{p- \sqrt{p^2-4q} }{2}\\\\\\e\ para\ x= \dfrac{p- \sqrt{p^2-4q} }{2},\ y= \dfrac{p- \sqrt{p^2-4q} }{2}$

$\boxed{N=\bigg(\dfrac{p+\sqrt{p^2-4q} }{2}\bigg)^5+\bigg(\dfrac{p-\sqrt{p^2-4q}}{2}\bigg)^5}$ 

Answer 2

a) Sendo a e b os números pensados : a+b = 15 ; a.b = 54 

Números : a = 9 , b = 6

Comprovação :

9+6 = 15 e 9.6 = 54 . (Verdade)

Soma das quintas potencias :

a⁵+b⁵ = 9⁵+6⁵ = 66825


b) No item a , dado a soma e o produto dos números como números inteiros era simples e racional calcular os numeros pensados por Daniel . Já nesse caso , temos p e q como soma e produto dos numeros pensados e não é interessante calculá-los , mas sim escrever o que Thiago propõe em função de p e q .

Vamos lá :

Thiago deseja saber : a⁵+b⁵ sendo a e b os números em que daniel pensou . Fatorando tal expressão temos :

Obs.: sabemos que a+b = p , e a.b = q .


a⁵+b⁵ = (a+b).(a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴)

a⁵+b⁵ = p.(a⁴- a².(ab) + (ab)² - b².(ab) +b⁴)

a⁵+b⁵ = p.(a⁴ - (a²+b²).q + q² +b⁴)

a⁵+b⁵ = p.(q² - (a²+b²)q + a⁴+b⁴)    (Eq.1)

Só que :

a²+b² = (a+b)² - 2ab = p² - 2q

E , ainda :

a⁴+b⁴ = (a²+b²)² - 2a²b² = (p²-2q)² - 2q² = p⁴-4p²q+4q² - 2q² = p⁴-4p²q+2q²


Voltando a Eq.1 :

a⁵+b⁵ = p.(q² - (a²+b²)q + a⁴+b⁴)

a⁵+b⁵ = p.(q² - (p²-2q)q + p⁴-4p²q+2q²)

a⁵+b⁵ = p.(q² - p²q + 2q² + p⁴ - 4p²q + 2q²)

a⁵+b⁵ = p.(5q² - 5p².q + p⁴)