Question

Dalila propôs o seguinte probleminha para seus alunos:" a soma das idades de joana ,marcelo e pedro é igual a 43.A idade de pedro adicionada ao dobro da idade de marcelo é igual ao quintuplo da idade de joana adicionada de cinco. Marcelo tem o dobro da idade de pedro" .Ache as idades de cada um usando sistema de equações

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Jessymp, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos chamar a idade de Joana de "J", a de Marcelo de "M" e a de Pedro de "P".
Assim, teremos:

i.1) Como a soma das três idades dá igual a 43, então:

J + M + P = 43        . (I)

i.2) Como a idade de Pedro (P) adicionada ao dobro da idade de Marcelo (M) é igual ao quíntuplo da idade de Joana adicionada de 5, então teremos isto:

P + 2M = 5J + 5 ---- passando "5J" para o 1º membro, teremos:
P + 2M - 5J = 5 --- ordenando, ficaremos assim:
-5J + 2M + P = 5      . (II)

i.3) E, como finalmente, temos que Marcelo (M) tem o dobro da idade de Pedro (P), então teremos que:

M = 2P     . (III)

ii) Agora veja que já poderemos ir nas expressões (I) e (II) e substituir "M" por "2P", conforme vemos na expressão (III). Assim:

ii.1) A expressão (I), que é esta: J + M + P = 43 , ficará sendo após substituirmos "M" por "2P":

J + 2P + P = 43 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos com:
J + 3P = 43      . (IV)

ii.2) A expressão (II), que é esta: -5J + 2M + P = 5 , ficará sendo após substituirmos "M" por "2P":

-5J + 2*2P + P = 5
-5J + 4P + P = 5
-5J + 5P = 5       . (V)

iii) Agora veja que ficamos com um sistema formado apenas pelas expressões (IV) e (V) com apenas duas equações e duas incógnitas. O sistema é este:

{J + 3P = 43        . (IV)
{-5J + 5P = 5       . (V)

Veja: vamos multiplicar a expressão (IV) por "5" e, em seguida somaremos membro a membro com a expressão (V). Fazendo isso, teremos:

5J + 15P = 215 --- [esta é a expressão (IV) multiplicada por "5"]
-5J + 5P = 5 ------- [esta é a expressão (V) normal]
----------------------------- somando membro a membro, teremos:
0 + 20P = 220 --- ou apenas:
20P = 220
P = 220/20
P = 11 anos <--- Esta é a idade de Pedro.

Agora, para encontrar a idade de Joana (J), vamos em uma das duas últimas expressões [ou na (IV) ou na (V)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos "P" por "11". Vamos na (IV), que é esta:

J + 3P = 43 ---- substituindo-se "P" por "11", teremos:
J + 3*11 = 43
J + 33 = 43
J = 43-33
J = 10 anos <--- Esta é a idade de Joana.

Finalmente, para encontrar a idade de Marcelo, vamos na expressão (III), que é esta:

M = 2P ---- substituindo-se "P" por "11", teremos:
M = 2*11
P = 22 anos <--- Esta é a idade de Pedro.

iv) Assim, resumindo, temos que as idades de cada um serão estas:

Joana: 10 anos; Pedro: 11 anos: Marcelo: 22 anos <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.