Question

Dados vetores u=(0,2,1),v=(2,0,1) vetores do R, então, a área do paralelogramo determinada por esse vetores, em unidades de área

Answer 1

Olá

Podemos calcular a área do paralelogramo, a partir do módulo do produto vetorial entre u e v... A fórmula é:

$\displaystyle \mathsf{A_{paralelogramo}=|u\times v|}$

Calculando o produto vetorial entre 'u' e 'v'

$\vec{u}=(0,2,1)\\\\\vec{v}=(2,0,1)\\\\\\\vec{u}\times\vec{v}= \left|\begin{array}{ccc}\^i&\^j&\^k\\0&2&1\\2&0&1\end{array}\right|\\\\\\\vec{u}\times\vec{v}\mathsf{=\underbrace{(\mathsf{2\^i+2\^j+0\^k})}_{diag.~principal}~-~\underbrace{(\mathsf{0\^j+0\^i+4\^k})}_{diag.~secund\'aria}}\\\\\\\vec{u}\times\vec{v}\mathsf{=2i+2j-4k}\\\\\\\vec{u}\times\vec{v}\mathsf{=(2,2,-4)}$

Calculando o módulo

$\vec{u}\times\vec{v}|~ \mathsf{= \sqrt{(2)^2+(2)^2+(-4)^2} }\\\\\\|\vec{u}\times\vec{v}| ~\mathsf{= \sqrt{4+4+16} }\\\\\\|\vec{u}\times\vec{v}|~\mathsf{ =\sqrt{24} }\\\\\\\boxed{\mathsf{A_{paralelogramo} ~= \sqrt{24} }} \qquad \text{Ou em decimal}\qquad\boxed{\mathsf{A_{paralelogramo} ~\approx 4,8989 }}$

Answer 2

Boa tarde Patyflau

área do paralelogramo é o comprimento do
produto vetorial u x v 

u = (0, 2, 1) 
v = (2, 0, 1)

produto vetorial u x v
 
 i    j    k    i    j
 0  2   1    0   2
 2  0   1    2   0

u x v = 2i + 2j + 0k - 4k - 0i - 0j = 2i + 2j - 4k = (2, 2, -4)

área 

A = ||u x v|| = √(2² + 2² + (-4)²) = √(4 + 4 + 16) = √24 = 2√6 u.a