Question

Dados um ponto A e os vetores u =[002]T,v =[121]T e w=[103]T, podemos afirmar que o volume do tetraedro ABCD, onde B=A+u , C=A+v e D=A+w é igual a:
A resposta tem que ser dada em fração.

Answer 1

Temos que u = (0,0,2), v = (1,2,1) e w = (1,0,3),

Como B = A + u, então u = B - A. Ou seja, u = AB = (0,0,2).

Da mesma forma:

C = A + v → v = C - A ∴ v = AC = (1,2,1)
D = A + w → w = D - A ∴ w = AD = (1,0,3)

Podemos calcular o volume do tetraedro pela fórmula:

$V= \frac{|(ABxAC).AD|}{6}$

Então, vamos calcular, primeiro, o produto vetorial ABxAC:

                | i      j       k|
ABxAC = |0     0       2|
                |1     2      1|
ABxAC = -4i + 2j + 0k = (-4,2,0)

Agora, vamos calcular o produto interno (ABxAC).AD:

(ABxAC).AD = (-4,2,0).(1,0,3) = -4

Portanto, o volume do tetraedro é igual a:

$V= \frac{|-4|}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ uv