Question

Dados

u = 5i -12j
e
v = i + Kj,

onde K é um escalar, ache K de tal forma que a medida em radianos do ângulo entre u e v seja $\frac{\pi}{3}$

u·v=║u║║v║cos[∡(u, v)]

Formula do cosseno: cos = $\frac{u . v}{|| u || || v ||}$

Estou com dificuldade.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Para começar, vamos reescrever os vetores, por exemplo:

O vetor A = 5i+2j será escrito na forma A = (5,2). Agora a resolução:

cos60° = \frac{u . v}{|| u ||.|| v ||}

cos60° = \frac{(5,-12).(1,K)}{|| (5,-12) ||.|| (1,K) ||}

cos60° = \frac{5.1-12.K}{|| (5,-12) ||.|| (1,K) ||} (J)

para não confundir, vamos calcular os módulos (normas) separadamente:

|| u || = || (5,-12) || = $\sqrt{5^{2}+(-12)^{2} }$ = $\sqrt{25+144}$ = $\sqrt{169}$ = 13

|| v || = || 1,K) || = $\sqrt{1^{2}+K^{2}  }$ = $\sqrt{1+K^{2} }$

Logo:

|| u ||.|| v || = 13$\sqrt{1+K^{2} }$ (I)

Substituindo na equação (J) a equação (I), temos:

cos60° = \frac{5-12K}{13$\sqrt{1+K^{2} }$}

Como sabemos o valor do cosseno de 60° que é um ângulo notável, cujo valor é 1/2, se obtem:

1/2 = \frac{5-12K}{13$\sqrt{1+K^{2} }$}

Multiplicando os dois membros dessa equação pelo produto dos denominadores, simplificamos a fração nisto:

2.(5-12K) = 13$\sqrt{1+K^{2} }$

Desenvolvendo a última etapa da questão:

10-24K = 13$\sqrt{1+K^{2} }$

Precisamos eliminar o radical para seguir com a equação, vamos elevar ao quadrado os dois lados:

(10-24K)² = (13$\sqrt{1+K^{2} }$)²

100-480K+576K² = (13)².($\sqrt{1+K^{2} }$)²

100-480K+576K² = 169.[1+K²]

100-480K+576K² = 169+169K²

576K²-169K² = 169-100+480K

576K²-169K² = 169-100+480K

407K²=69+480K

407K²-480K-69 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos os valores de K:

K' = [(√342732)+480]/2.407

K'' = [480-√342732]/2.407