Question

dados u = (2;6;-1) e v = (3;-4;-4), determine:
a) q norma do vector projecção de v sobre u
b) o vector projeção de u sobre v​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Projeção de V sobre u

o vetor V irá ficar na mesma direção do vetor u

pra isso é só fazer o produto escalar entre v e o versor de u

agora fazendo a projeção

vetor projeção

6 porque é o valor algebrico da projeção. aplicado na direção do versor u

Answer 2

Temos os seguinte vetores:

$\sf u = (2 , \: 6 , \: - 1) \: \: e \: \: v = (3, \: - 4 , \: - 4)$

A questão quer saber qual a norma do vetor projeção de v sobre u e também o vetor projeção de u sobre v. Primeiramente vamos lembrar que a fórmula da projeção de um vetor sobre outro é dada pela seguinte relação abaixo:

$\boxed{ \sf proj\vec{u}_{\vec{v}} = \left( \frac{u \cdot v}{ | | \vec{v}| | {}^{2} } \right). \vec{v}}$

Vamos iniciar calculando a projeção do vetor v sobre u, e depois calcular a norma do mesmo. Como a projeção é v sobre u, na fórmula o "v" ficará em cima e o "u" em baixo:

$\sf proj\vec{v}_{\vec{u}} = \left( \frac{u \cdot v}{ | | \vec{u}| |^{2}} \right). \vec{u}$

Substituindo os dados na relação:

$\sf proj\vec{v}_{\vec{u}} = \left( \frac{(2, \: 6 , \: - 1) \cdot(3 , \: - 4, \: - 4)}{ | | (2, \: 6 , \: - 1)||^{2}}\right). \vec{( 2 , \: 6 \: , \: - 1})$

Calculando o produto escalar entre os vetores do numerador, teremos que:

$\sf (2, \: 6 , \: - 1) \cdot(3 , \: - 4, \: - 4) = \\ = \sf 2.3 + 6.( - 4) + ( - 1).( - 4) \\ \sf = 6 - 24 + 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf = - 14 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

O módulo do vetor "u":

$\sf | | \vec{u}| | = \sqrt{(2 {}^{2} + 6 {}^{2} + ( - 1) {}^{2} } \\ \sf | | \vec{u}| | = \sqrt{4 + 36 + 1} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf | | \vec{u}| | = \sqrt{41} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Elevando o módulo ao quadrado:

$\sf | | \vec{u}| | {}^{2} = ( \sqrt{41} ) {}^{2} \\ \sf | | \vec{u}| | {}^{2} = 41 \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo esses dados na relação:

$\sf proj\vec{v}_{\vec{u}} = \left( \frac{ - 14}{ 41 } \right). (2, \: 6 , \: - 1)$

Multiplicando a escalar pelo vetor:

$\sf proj\vec{u}_{\vec{v}} = \left( - \frac{14}{41}.2, \: - \frac{14}{41}.6 , \: - \frac{14}{41} .( - 1)\right) \\ \\ \sf proj\vec{u}_{\vec{v}} = \left( - \frac{28}{41}, \: - \frac{84}{41} , \: \frac{14}{41} \right)$

Agora é só tirar o módulo da projeção:

$| | \sf \sf \sf proj\vec{u}_{\vec{v}}| | = \sqrt{\left( - \frac{28}{41} \right) {}^{2} + \left( - \frac{84}{41} \right) {}^{2} + \left( \frac{14}{41} \right) } \\ \\ \boxed{\sf | | proj\vec{u}_{\vec{v}}| | = \frac{14 \sqrt{41} }{41} \: \: ou \: \:2 , 1864}$

E agora vamos calcular a projeção de "u" sobre "v", ou seja, "u" estará em cima na fórmula e "v" estará em baixo, do jeito que foi apresentado.

$\sf proj\vec{u}_{\vec{v}} = \left( \frac{ \vec{u} \cdot \vec{v}}{ | | \vec{v}| | {}^{2} } \right). \vec{v}$

Substituindo os dados na relação:

$\sf proj\vec{u}_{\vec{v}} = \left( \frac{(2, \: 6 , \: - 1) \cdot(3 , \: - 4, \: - 4)}{ | | (3 , \: - 4, \: - 4)| | {}^{2} } \right). {(3 , \: - 4, \: - 4)}$

O produto escalar não será necessário calcularmos novamente, já que é o mesmo que calculamos anteriormente. Mas já o módulo terá um novo valor, pois o vetor mudou:

$\sf | |v| | = \sqrt{3 {}^{2} + ( - 4) {}^{2} + (\: - 4) {}^{2} } \\ \sf | |v| | = \sqrt{9 + 16+ 16} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf | | \vec{v}| | = \sqrt{41} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Olha que interessante, o módulo teve o mesmo valor. Agora vamos elevá-lo ao quadrado:

$\sf | | \vec{v}| | {}^{2} = ( \sqrt{41} ) {}^{2} \\ \sf | | \vec{v}| | {}^{2} = 41 \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo os dados na relação:

$\sf proj\vec{u}_{\vec{v}} = \left( \frac{ - 14}{ 41} \right). (3 , \: - 4, \: - 4)$

Multiplicando a escalar pelo vetor:

$\sf proj\vec{u}_{\vec{v}} = \left( \frac{ - 14}{ 41} .3, \: - \frac{14}{41} .( - 4) , \: - \frac{14}{41} .( - 4)\right)\\ \\ \boxed{\sf proj\vec{u}_{\vec{v}} = \left( - \frac{42}{41} , \frac{56}{41} , \: \frac{56}{41} \right)}$

Espero ter ajudado