Question

Dados u→ = ( 1, 3 , -2) e v→ = ( 1, 0 , 6) , determine:

a) O produto escalar entre esses vetores.

b) O produto vetorial entre os vetores u e v ( nessa ordem)

c) A área do paralelogramo cujo os lados são os vetores u e v ( nessa ordem)

Answer 1

Olá

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A)

$\vec{u}= ( 1, 3 , -2) \\ \vec{v} = ( 1, 0 , 6) \\ \\ \\ \vec{u}\cdot\vec{v}=~ ( 1, 3 , -2) \cdot ( 1, 0 , 6) \\ \\ \vec{u}\cdot\vec{v}=~ ( (1\cdot 1 )+(3\cdot 0)+(-2\cdot 6)) \\ \\ \vec{u}\cdot\vec{v}=~ (1+0-12) \\ \\ \boxed{\vec{u}\cdot\vec{v}=~ -11}$


B)

$\vec{v} = ( 1, 3 , -2 ) \\ \\ \vec{w} = (1, 0 , 6 ) \\ \\ \\ \vec{u}\times\vec{v}= \left\begin{vmatrix}\^i&\^j&\^k\\1&3&-2\\1&0&6\end{vmatrix}\right \\ \\ \\ \\ \vec{u}\times\vec{w}= \left\begin{vmatrix} \^i ~ ~~~~ ~~ & \^j~ ~~~~ ~~ & \^k~ ~~~~ ~~ & \^i ~ ~~~~ ~~ \^j \\ 1~ ~~~~ ~~ & 3~ ~~~~ ~~ & -2~ ~~~~ ~~ & 1~ ~~~~ ~~ 3 \\ 1 ~ ~~~~ ~~ & 0~ ~~~~ ~~ & 6 ~ ~~~~~ ~ & 1 ~~~~~ 0 \end{vmatrix}\right \\ \\ \\ (18i~-2j~+0k)~-~(6j~+~0i~+3k) \\ \\ 18i-2j-6j-3k \\ \\ 18i-8j-3k$

$\boxed{\vec{u}\times\vec{w}=(18,-8,3)}$



C)

A área do paralelogramo pode ser calculado a partir do modulo do vetor gerado do produto vetorial entre dois vetores... E como já calculamos o produto vetorial entre esses dois vetores, agora basta calcular o módulo.

$\vec{w}=(18,-8,3) \\ \\ |\vec{w}|= \sqrt{(18)^2+(-8)^2+(3)^2} \\ \\ |\vec{w}|= \sqrt{324+64+9} \\ \\\boxed{ |\vec{w}|= \sqrt{397}~~ u.a.} \\ \\ R:~ \sqrt{397}~ ~\text{unidades de area}$