Question

Dados u (1,2,3), v=(3,2,1), w=(-4,8,4). Assinale a ÚNICA alternativa correta:

Escolha uma:
a. w é combinação linear dos vetores u e v
b. w é o único vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u e v
c. A área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v é igual a 10 u.a.
d. Os vetores u,v,w não são coplanares.

Answer 1

Os três vetores $\mathsf{\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}}$ são linearmente dependentes (formam uma combinação linear) se o produto misto deles resultar em $\mathsf{0}$, ou seja, se eles determinarem um plano único e assim o volume do paralelepípedo determinado por eles for nulo.

$\mathsf{[ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] \ = \ \det \left[\begin{array}{ccc}\mathsf{1}&\mathsf{2}&\mathsf{3}\\\mathsf{3}&\mathsf{2}&\mathsf{1}\\\mathsf{-4}&\mathsf{8}&\mathsf{4}\end{array}\right] }$

$\mathsf{[ \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] \ = \ 1\cdot \det \left[\begin{array}{cc}\mathsf{2}&\mathsf{1}\\\mathsf{8}&\mathsf{4}\end{array}\right]- 2\cdot \det \left[\begin{array}{cc}\mathsf{3}&\mathsf{1}\\\mathsf{-4}&\mathsf{4}\end{array}\right] \ + \ 3\cdot \det \left[\begin{array}{cc}\mathsf{3}&\mathsf{2}\\\mathsf{-4}&\mathsf{8}\end{array}\right]}$

$\mathsf{[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] \ = \ 64}$

Logo, eles determinam um paralelepípedo, pois o produto misto é diferente de $\mathsf{0}$, ou, em outras palavras, não determinam os três um mesmo plano único.

A última alternativa está certa, mas por desencargo, vamos  passar pelas outras (sendo que a primeira é automaticamente falsa por ser negação da última).

$\mathsf{\hookrightarrow}$ A segunda alternativa é falsa pois, primeiramente, $\mathsf{\vec{w}}$ tem que ser resultado de um dos produtos vetoriais $\mathsf{\vec{u} \wedge \vec{v} \ ou \ \vec{v} \wedge \vec{u}}$, e mesmo que for, sempre existem dois vetores simultaneamente ortogonais a quaisquer vetores $\mathsf{\vec{u'}, \vec{v'}}$:   $\mathsf{\vec{v'} \wedge \vec{u'} \ e \ \vec{u'} \wedge \vec{v'} }$.

$\mathsf{S_{(\vec{u}, \vec{v})} \ = \ ||\vec{u} \wedge \vec{v}||}$

Fazendo $\mathsf{\vec{u} \wedge \vec{v}}$:

$\mathsf{\vec{u} \wedge \vec{v} \ = \ \det \left[\begin{array}{ccc}\mathsf{\hat i}&\mathsf{\hat j}&\mathsf{\hat k}\\\mathsf{1}&\mathsf{2}&\mathsf{3}\\\mathsf{3}&\mathsf{2}&\mathsf{1}\end{array}\right] }$

$\mathsf{\vec{u} \wedge \vec{v} \ = \ -4\cdot \hat i \ + \ 8\cdot \hat{j} \ - \ 4\cdot \hat k \ =\ (-4, 8, -4)}$

$\mathsf{S_{(\vec{u}, \vec{v})} \ = \ \sqrt{(-4)^2 \ + \ 8^2 \ + (-4)^2} \ = \ 4\cdot \sqrt{6}}$

$\mathsf{S_{(\vec{u}, \vec{v})} \ = \ \sqrt{(-4)^2 \ + \ 8^2 \ + (-4)^2} \ = \ 4\cdot \sqrt{6} \ \neq \ 10 \ (em \ u. a.)}$