Question

Dados u = (1,2,1) e v = (0,1,-1) encontre um vetor unitário paralelo a u x v.

Answer 1

Temos que achar então um vetor unitário que seja normal do plano produzido pelos vetores u e v, ou seja, o vetor n é ortogonal a u e v.
Então temos:

$\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u}=0 \\ (x, y, z).(1, 2, 1) = 0 \\ x+2y+z=0 (Eq.I) \\ \\ \overrightarrow{n}.\overrightarrow{v}=0 \\ (x, y, z).(0, 1, -1) = 0 \\ y-z=0 (Eq. II)$

O vetor n precisa ser unitário, então:
$|\overrightarrow{n}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=1 \\{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}^{2}=1^{2} \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 (Eq.III)$

Substituindo Eq. II na Eq. I:
$x+2z+z=0 \\ x=-3z (Eq.IV)$

Substituindo Eq. II e IV na Eq. III:
$(-3z)^{2}+z^{2}+z^{2}=1 \\ 9z^{2}+2z^{2}=1 \\ 11z^{2}=1 \\ z^{2}=\frac{1}{11} \\ \sqrt{z^{2}}=\sqrt{\frac{1}{11}} \\ z=\sqrt{\frac{1}{11}}$

Como y=z
$y=\sqrt{\frac{1}{11}}$

Na Eq. IV:
$x=-3z\\x=-3\sqrt{\frac{1}{11}}$

Portanto o vetor é:
$\overrightarrow{n}=(-3\sqrt{\frac{1}{11}} , \sqrt{\frac{1}{11}} , \sqrt{\frac{1}{11}} )$