Question

Dados $n,m\in\mathbb{N^*}$, com $n\geq2$, mostre que se $u_n$ é o termo de ordem $n$ da sequência de Fibonacci, então

$u_{n+m}=u_{n-1}u_m+u_nu_{m+1}$.

Answer 1

Prova por indução em n, fixando o m:

I) n=2 => $u_{m+2} = u_{1}u_{m}+u_{2}u_{m+1}$
E isso é verdade para todo m, pela definição da sequência.

II) Supondo que seja verdade pra n=k: $u_{m+k} = u_{k-1}u_{m}+u_{k}u_{m+1}$
Verificando pra n=k+1:
$u_{m+k+1} = u_{k} u_{m} + u_{k+1}u_{m+1}$

E somando as duas igualdades membro a membro:
$u_{m+k} + u_{m+k+1}=u_{k-1}u_{m}+u_{k}u_{m+1}+u_{k}u_{m}+u_{k+1}u_{m+1}$
$u_{m+k+2}=u_{m}(u_{k-1}+u_{k})+u_{m+1}(u_{k}+u_{k+1})$
$u_{m+k+2}=u_{m}u_{k+1}+u_{m+1}u_{k+2}$

Que era o resultado esperado, logo aquela relação sempre vale para todo n>1. Pra provar pra m é a mesma coisa, só trocar as letras.