Question

Dados sen x=4/5 e cos y=12/13, com 0 <x<pi/2 e 3pi/2 <y<2pi. Calcule o valor de sen (x + y) e cos (x - y).

Obs: se possível coloque passo a passo pf...obrigado​

Answer 1

Resposta:

sen(x+y) = 33/65

cos(x-y) = 16/65

Explicação passo-a-passo:

O primeiro passo é lembrar as fórmulas de adição de arcos:

sen(x+y) = senx cosy + seny cosx

cos(x-y) = cosx cosy + senx seny

Mas só temos o valor de senx e cosy e olhando as fórmulas precisaremos também dos valores de cosx e seny. Então agora vamos calculá-los. Para isso basta usar a relação fundamental sen²t + cos²t = 1.

1) calculando cosx:

senx = 4/5

sen²x + cos²x = 1

Substituindo senx = 4/5 na segunda equação temos

(4/5)² + cos²x = 1

cos²x = 1 - 16/25

cos²x = 9/25

Agora temos duas possibilidades: cosx = 3/5 ou cosx = -3/5. Como foi falado no enunciado que 0 < x < π/2 sabemos que x está no primeiro quadrante. Portanto o cosseno deve ser positivo. Concluímos então que

cosx = 3/5

2) calculando seny:

cosy = 12/13

sen²y + cos²y = 1

Substituinido cosy = 12/13 na segunda equação temos:

sen²y + (12/13)² = 1

sen²y = 1 - 144/169

sen²y = 25/169

Novamente temos duas possibilidades: seny = 5/13 ou seny = -5/13. Mas dessa vez y está no terceiro quadrante. Portanto o seno deve ser negativo e concluímos que

seny = -5/13

Agora é só substituir os valores que encontramos nas fórmulas e terminar a questão:

$\sin (x+y) = \sin x \cos y + \sin y \cos x = \dfrac 45 \cdot \dfrac{12}{13} - \dfrac 5{13}\cdot \dfrac 35 = \dfrac {33}{65}$

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac {12}{13} - \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{13} = \dfrac{16}{65}$