Question

Dados, sen beta= 4/5 e beta pertence 2ª quadrante, calcule cos (2beta).

Answer 1

Dados  sen β = 4/5,  e  β ∈ 2º quadrante, calcule  cos(2β).

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Identidades utilizadas:

     •  cos² β − sen² β = cos(2β)     (cosseno do arco duplo);

     •  cos² β + sen² β = 1     (relação fundamental).


Se manipularmos de forma conveniente as duas identidades acima, podemos obter uma identidade para  cos(2β)  que envolva apenas  sen β,  e não  cos β:

     $\mathsf{cos(2\beta)=cos^2\,\beta-sen^2\,\beta}$


Mas  cos² β = 1 − sen² β. Dessa forma,

     $\mathsf{cos(2\beta)=(1-sen^2\,\beta)-sen^2\,\beta}\\\\ \mathsf{cos(2\beta)=1-2\,sen^2\,\beta}$


Substitua acima o valor conhecido para  sen β:

     $\mathsf{cos(2\beta)=1-2\cdot\left(\dfrac{4}{5}\right)^{\!2}}\\\\\\ \mathsf{cos(2\beta)=1-2\cdot \dfrac{16}{25}}\\\\\\ \mathsf{cos(2\beta)=1-\dfrac{32}{25}}\\\\\\ \mathsf{cos(2\beta)=\dfrac{25-32}{25}}$

     $\mathsf{cos(2\beta)=-\,\dfrac{7}{25}\quad\longleftarrow\quad esta~\acute{e}~a~resposta.}$


Bons estudos! :-)