Question

Dados sen a = 12/13, PI/2 < a < PI, cos b = -3/5 e PI < b < 3pi/2, Calcule:



a) sen (a+b) b) cos (a+b)

c) sen (a - b) d) cos (a - b)

Answer 1

Os valores são: sen(a + b) = -16/65; cos(a + b) = 63/65; sen(a - b) = -56/65 e cos(a - b) = -33/65.

É importante lembrarmos que:

• seno da soma: sen(a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a);
• seno da diferença: sen(a - b) = sen(a).cos(b) - sen(b).cos(a);
• cosseno da soma: cos(a + b) = cos(a).cos(b) - sen(a).sen(b);
• cosseno da diferença: cos(a - b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b).

Veja que o enunciado não nos dá os valores de sen(b) e cos(a).

A relação fundamental da trigonometria nos diz que sen²(x) + cos²(x) = 1.

Dado que sen(a) = 12/13, então:

(12/13)² + cos²(a) = 1

144/169 + cos²(a) = 1

cos²(a) = 1 - 144/169

cos²(a) = 25/169

cos(a) = ±5/13.

Como a está no segundo quadrante, então o cosseno é negativo. Logo, cos(a) = -5/13.

Da mesma forma, sendo cos(b) = -3/5, temos que:

sen²(b) + (-3/5)² = 1

sen²(b) + 9/25 = 1

sen²(b) = 1 - 9/25

sen²(b) = 16/25

sen(b) = ±4/5.

Como b está no terceiro quadrante, então o seno é negativo. Logo, sen(b) = -4/5.

Portanto,

a) sen(a + b) = 12/13.(-3/5) + (-4/5).(-5/13)

sen(a + b) = -36/65 + 20/65

sen(a + b) = -16/65.

b) cos(a + b) = (-5/13).(-3/5) - 12/13.(-4/5)

cos(a + b) = 15/65 + 48/65

cos(a + b) = 63/65.

c) sen(a - b) = 12/13.(-3/5) - (-4/5).(-5/13)

sen(a - b) = -36/65 - 20/65

sen(a - b) = -56/65.

d) cos(a - b) = (-5/13).(-3/5) + 12/13.(-4/5)

cos(a - b) = 15/65 - 48/65

cos(a - b) = -33/65.