Question

Dados sen a = 1/2 e sen b = 1/4, com 0 < x, y < π/2. O valos de cos (2a + b) é:
a) (√15 + √3) / 8
b) (√15 - √3) / 8
c) (√13 - √5) / 8
d) (√15 - √3) / 4

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Pela relação fundamental da trigonometria:

$\sf sen^2~x+cos^2~x=1$

Como os ângulos em questão pertencem ao primeiro quadrante, seus cossenos são positivos

$\sf \bullet~~ sen^2~a+cos^2~a=1$

$\sf \left(\dfrac{1}{2}\right)^2+cos^2~a=1$

$\sf \dfrac{1}{4}+cos^2~a=1$

$\sf cos^2~a=\dfrac{3}{4}$

$\sf cos~a=\sqrt{\dfrac{3}{4}}$

$\sf cos~a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\sf \bullet~~ sen^2~b+cos^2~b=1$

$\sf \left(\dfrac{1}{4}\right)^2+cos^2~b=1$

$\sf \dfrac{1}{16}+cos^2~b=1$

$\sf cos^2~b=\dfrac{15}{16}$

$\sf cos~b=\sqrt{\dfrac{15}{16}}$

$\sf cos~b=\dfrac{\sqrt{15}}{4}$

$\sf \bullet~~cos~2a=cos^2~a-sen^2~a$

$\sf cos~2a=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$

$\sf cos~2a=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}$

$\sf cos~2a=\dfrac{1}{2}$

$\sf \bullet~~sen~2a=2\cdot sen~a\cdot cos~a$

$\sf sen~2a=2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\sf sen~2a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Assim:

$\sf cos~(2a+b)=cos~2a\cdot cos~b-sen~2a\cdot sen~b$

$\sf cos~(2a+b)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{15}}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{4}$

$\sf cos~(2a+b)=\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{8}$

Letra B