Question

Dados quatro pontos: A (– 1, 3 ), B ( 3 ,5 ), C ( 9 ,1 ) e D ( 6 – 1 )

Determine ;
área do quadrilátero ABCD
perímetro do quadrilátero ABCD

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Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Bem semelhante ao cálculo da área de um triângulo através dos seus vértices.

Nesse caso teremos que calcular dois DETERMINANTES, um para ABC e outro para ACD.

Após isso vamos substituir na fórmula da área que é:

A = 1/2 . (|d1| + |d2|)

Vamos identificar os valores das abscissas e ordenadas de A,B,C e D.

$\begin{cases}A ( - 1, 3) \rightarrow \: xa = -1 \: \: \: \: ya = 3 \\ B (3,5) \rightarrow xb = 3 \: \: \: \: yb = 5 \\ C(9 ,1) \rightarrow xc = 9 \: \: \: yc = 1 \\ D ( 6, -1) \rightarrow xd = 6 \: \: \: \: yd = - 1\end{cases}$

Agora vamos aos cálculos dos DETERMINANTES.

I) D1 (ABC):

$\begin{pmatrix} - 1&3&1 \\ 3&5&1 \\ 9&1&1\end{pmatrix}. \begin{pmatrix} - 1&3 \\ 3&5 \\ 9&1\end{pmatrix} \\ \\ D = Diagonal \: P - Diagonal \: S \\ \\ ( - 1).5.1 + 3.1.9 + 1.3.1 - (9.5.1 + 1.1.( - 1) + 1.3.3) \\ - 5 + 27 + 3 - (45 - 1 + 9) \\ 25 - (53) \\ \boxed{D_1= - 28}$

II) D2 (ACD):

$\begin{pmatrix} - 1&3&1 \\ 9&1&1 \\ 6& - 1&1\end{pmatrix}. \begin{pmatrix} - 1&3 \\ 9&1 \\ 6& - 1\end{pmatrix} \\ \\ D = Diagonal \: P - Diagonal \: S \\ \\ ( - 1).1.1 + 3.1.6 + 1.9.( - 1) - (6.1.1 + ( - 1).1.( - 1) + 1.9.3) \\ - 1 + 18 - 9 - (6 + 1 + 27) \\ 8 - (34) \\ \boxed{D = - 26}$

Substituindo na fórmula:

$\large\boxed{A = \frac{( |d1| + |d2| ) }{2} } \\ \\ A = \frac{ | - 28| + | - 26| }{2} \\ \\ A = \frac{28 + 26}{2} \\ \\ A = \frac{54}{2} \\ \\ \boxed{A = 27 \: u.a}$

PERÍMETRO:

d(AB) = 2√5

d(BC) = 2√13

d(CD) = √13

d(AD) = √65

PERÍMETRO = Soma de todos os lados

P = 2√5 + 2√13 + √13 + √65

P = 2√5 + 3√13 + √65

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️