Question

Dados os vetores u, v, e w iguais a u=(2,4,-6), v=(4,0,-6) e w=(6,2,0). Determine o vetor X, sabendo que: X.u = -32 X.v = 0 X.w = 6.

Answer 1

O vetor x será da forma (a,b,c)(22/7,-45/7,44/21)

(2,4,-6).(a,b,c) = 2a + 4b - 6c = -32 (1)

(4,0,-6).(a,b,c) = 4a - 6c = 0 (2)

(6,2,0).(a,b,c) = 6a + 2b = 6 (3)

Subtraindo (1) de (2):

2a - 4b = 32 (4)

Dividindo (4) por 2:

a - 2b = 16 (5)

Somando (3) e (5):

7a = 22

a = 22/7

Substituindo a em (5):

22/7 - 2b = 16

2b = 22/7 - 16
2b = -90/7
b = -45/7

Substituindo a em (2):

4*22/7 - 6c = 0
88/7 = 6c

c = 44/21

Vetor x:

X = (22/7,-45/7,44/21)

Answer 2

Seja X o vetor (a,b,c)

Teremos.

X.u = (a,b,c).(2,4,-6)

X.u = 2a + 4b -6c   

igualando a -32 teremos:

X.u = -32

2a +4b-6c = -32   ← eq1
------------------------------

X.v = 0

(a,b,c).(4,0,-6) = 0

4a +0b -6c = 0  ← eq2

--------------------------

X.w = 6

(a,b,c).(6,2,0) = 6

6a +2b +0c = 6  ← eq 3

-------------------------------

Teremos o seguinte sistema a resolver:



2a +4b-6c = -32

4a+0b -6c=0

6a +2b+0c=6


dividindo todas linhas por dois para facilitar os calculos:


a+2b-3c=-16

2a+0b-3c=0

3a+1b+0c=3

Armando o determinate dos coeficiente teremos:

$\\ det \left[\begin{array}{ccc}1&2&-3\\2&0&-3\\3&1&0\end{array}\right]$

Resolvendo por escalonamento:


$L_{2} .^1= L2-k1*L1$

k1 = a₂₁/a₁₁

k1 = 2/1 → 2


$\\ L_{2} .^1= [2 ,0,-3]0]-2[1,2,-3]-16] \\ \\ L_{2} .^1=[2,0,-3]0]+[-2,-4,6]32] \\ \\ L_{2} .^1= [0,-4,3]32]$

Nova matriz:

$\left[\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-4&3\\3&1&0\end{array}\right]$


k2 = a₃₁/a₁₁

k2 = 3/1 → 3


$\\ L_{3} .^1=L3-k2L1 \\ \\ L_{3} .^1= [3,1,0]3]-3[1,2,-3]-16] \\ \\ L_{3} .^1= [3,1,0]3]+[-3,-6,9]48] \\ \\ L_{3} .^1= [0,-5,9]51]$

Nova matriz:


$\left[\begin{array}{ccc}1&2&-3\\0&-4&3\\0&-5&9\end{array}\right]$

k3 = a₃₂/a₂₂

k3 = -5/-4 → 5/4



$\\ L_{3} .^2= L3-k3L2 \\ \\ L_{3} .^2=[0,-5,9]51]- \frac{5}{4} [0,-4,3]32] \\ \\ L_{3} .^2= [0,-5,9]51]+[0,5, -\frac{15}{4} ]-40] \\ \\ L_{3} .^2=[0,0, \frac{21}{4} ]11]$

O novo sistema será:

------------------------------

1a+2b-3c=-16

0a-4b+3c=32

0a+0b+(21/4)c = 11

-----------------------

21/4c= 11

21c = 11*4

21c = 44


$c = \frac{44}{21}$

---------------------------

-4b+3c=32


$\\ -4b+3* \frac{44}{21} = 32 \\ \\ -4b + \frac{44}{7} =32 \\ \\ -4b = 32-\frac{44}{7} \\ \\ -4b = \frac{224-44}{7} \\ \\ b = \frac{180}{-28} \\ \\ b = - \frac{45}{7}$

-------------------------

$\\ 1a+2b-3c=-16 \\ \\ a+2* (\frac{-45}{7} )-3*( \frac{44}{21} )=-16 \\ \\ a- \frac{90}{7} - \frac{44}{7} =-16 \\ \\ a - \frac{134}{7} =-16 \\ \\ a=-16+ \frac{134}{7} \\ \\ a= \frac{-112+134}{7} \\ \\ a= \frac{22}{7}$

∴

$X = ( \frac{20}{7} ,- \frac{45}{7} , \frac{44}{21} )$

A resolução para esse resultado está correto ok?

Caso fosse errado, o resultado de gaus não iria bater.  :-)