Question

Dados os vetores u=(-2,3,2) e v=(3,-2,1). Determine o angulo entre os vetores.

Answer 1

O ângulo entre vetores pode ser obtido pelo produto escalar:

Dados dois vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}},$ o produto escalar entre estes vetores é

 $\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=\|\overrightarrow{\mathbf{u}}\|\cdot \|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|\cdot \cos \theta$

onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$  $(0\leq \theta \leq \pi).$


Obtendo os módulos dos vetores:

$\bullet\;\;\|\overrightarrow{\mathbf{u}}\|=\|(-2;\,3;\,2)\|\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{u}}\|=\sqrt{(-2)^{2}+3^{2}+2^{2}}\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{u}}\|=\sqrt{4+9+4}\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{u}}\|=\sqrt{17}\\ \\ \\ \bullet\;\;\|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=\|(3;-2;\,1)\|\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=\sqrt{9+4+1}\\ \\ \|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|=\sqrt{14}$


Encontrando o produto escalar entre $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}:$

$\bullet\;\; \overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=(-2;\,3;\,2)\cdot (3;\,-2;\,1)\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=(-2)\cdot 3+3 \cdot (-2) +2 \cdot 1\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=-6-6+2\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=-10$


Voltando à expressão do produto escalar, temos

$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=\|\overrightarrow{\mathbf{u}}\|\cdot \|\overrightarrow{\mathbf{v}}\|\cdot \cos \theta\\ \\ -10=\sqrt{17}\cdot \sqrt{14}\cdot \cos \theta\\ \\ \cos \theta=\dfrac{-10}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{14}}\\ \\ \\ \cos \theta=-\dfrac{10}{\sqrt{238}}\\ \\ \\ \theta=\mathrm{arccos}\left(-\dfrac{10}{\sqrt{238}} \right )\\ \\ \\ \theta \cong 130,4^{\circ}$