Question

Dados os vetores u = ( 2, 1, m ) , v = ( m+2 , -5 , 2 ) e w = ( 2m , 8, m ). Determine o valor de m para que ( u + v ) seja ortogonal a ( w - u )

Answer 1

u + v = ( 2 + m + 2, 1 - 5, m + 2 )

u + v = ( 4 + m, -4, 2 + m )

______________

w - u = ( 2m - 2, 8 - 1, m - m )

w - u = ( 2m - 2, 7, 0 )

_____________

Para que dois vetores sejam ortogonais, seu produto escalar deve ser igual a 0:

(u + v) x ( w - u ) = 0

(4 + m) x (2m - 2) + (-4)x(7) + (2 + m)x(0) = 0

8m - 8 + 2m² - 2m - 28 + 0 = 0

2m² + 6m - 36 = 0

m² + 3m - 18 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, os valores de m encontrados serão:

m' = -6

m" = 3

Answer 2

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que os possíveis valores para o parâmetro "m" de modo que tornem os vetores (u + v) e (w - u) ortogonais pertencem ao seguinte conjunto solução:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{-6, 3\}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os vetores:

      $\Large\begin{cases}\vec{u} = (2, 1, m)\\\vec{v} = (m + 2, -5, 2)\\\vec{w} = (2m, 8, m) \end{cases}$

Sabendo que dois vetores não nulos são ortogonais se, e somente se, o produto escalar entre eles resultar em "0". Então, temos:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered}(\vec{u} + \vec{v})\cdot(\vec{w} - \vec{u}) = 0 \end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[(2, 1, m) + (m + 2, -5, 2)\righ]\cdot \left[(2m, 8, m) - (2, 1, m)\right] = 0 \end{gathered}$

 $\Large\displaystyle\begin{gathered}(2 + m + 2, 1 + (-5), m + 2)\cdot(2m - 2, 8 - 1, m - m) = 0 \end{gathered}$

                                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}(m + 4, -4, m + 2)\cdot(2m - 2, 7, 0) = 0\end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} (m + 4)\cdot(2m - 2) + (-4)\cdot7 + (m + 2)\cdot0= 0\end{gathered}$

                                                                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}2m^{2} + 6m - 8 - 28 = 0\end{gathered}$

                                                                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2m^{2} + 6m -36= 0\end{gathered}$

Neste momento chegamos à uma equação do segundo grau - equação quadrática - cujos coeficientes são:

              $\Large\begin{cases}a = 2\\b = 6\\c = -36 \end{cases}$

Calculando o valor do delta temos:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4ac \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 6^{2} - 4\cdot2\cdot(-36) \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 36 + 288 \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 324 \end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\Delta = 324 \end{gathered}$

Aplicando a fórmula de Bhaskara, temos:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}m = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} \end{gathered} }$

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-6\pm\sqrt{324}}{2.2} \end{gathered} }$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{-6 \pm18}{4} \end{gathered}$

Obtendo as raízes, temos:

    $\Large\begin{cases}m' = \frac{-6 - 18}{4} = \frac{-24}{4} = -6\\m'' = \frac{-6 + 18}{4} = \frac{12}{4} = 3\end{cases}$

✅ Portanto, o conjunto solução é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}S = \{-6, 3\} \end{gathered}$

 

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