Question

Dados os vetores u = (-2,1,4) e v = (1,2,3), determine o produto vetorial

Answer 1

Como sabemos, os vetores possuem um vetor em (i), (j) e (k), então vamos escrever isso:

$\sf u = (-2 \hat{i},1 \hat{j},4 \hat{k}) \: \: e \: \: v = (1\hat{i},2\hat{j},3\hat{k})$

Agora vamos calcular de fato o produto vetorial entre eles dois.

$\sf u \times v = (-2 \hat{i},1 \hat{j},4 \hat{k}) \times (1\hat{i},2\hat{j},3\hat{k}) \\ \\ \sf u \times v = ( - 2.1)\hat{i}\hat{i} + (- 2.2)\hat{i}\hat{j} + ( - 2.3)\hat{i}\hat{k} \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ( 1.1)\hat{j}\hat{i} + (1.2)\hat{j} \hat{j} + (1.3)\hat{j}\hat{k}\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf (4.1)\hat{k}\hat{i} + (4.2)\hat{k}\hat{j} + (4.3)\hat{k}\hat{k} \\ \\ \sf u \times v =( - 2)\hat{i}\hat{i} + (- 4)\hat{i}\hat{j} + ( - 6)\hat{i}\hat{k} \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ( 1)\hat{j}\hat{i} + (2)\hat{j} \hat{j} + (3)\hat{j}\hat{k}\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf (4)\hat{k}\hat{i} + (8)\hat{k}\hat{j} + (12)\hat{k}\hat{k}$

Vamos realizar um cálculo simples, só pra entender uma coisinha:

$\boxed{ \sf \hat{i} \times \hat{i} = i.i sen \phi}$

O módulo do vetor "i" é 1 e o ângulo entre o vetor "i" e ele mesmo é "0", então vamos substituir:

$\sf \hat{i} \times \hat{i} =1.1.sen0 \\ \sf\hat{i} \times \hat{i} = 0$

Reserva esse dado.

Agora vamos fazer o mesmo cálculo com vetores diferentes:

$\boxed{ \sf \hat{i} \times \hat{j} = i.j \: sen \phi}$

O vetor "i" representa o eixo "x" e o vetor "j" representa o eixo "y", portanto o ângulo entre eles é 90°.

$\sf \hat{i} \times \hat{j} = 1.1.sen90 \\ \sf \hat{i} \times \hat{j} = 1.1.1 \\ \sf \hat{i} \times \hat{j} = 1$

Com isso podemos perceber que os vetores iguais se anulam e os vetores diferentes permanecem, ou seja, vamos cancelar os termos que tenham dois vetores iguais sendo multiplicados em nossa questão:

$\sf u \times v = \cancel{( - 2)\hat{i}\hat{i} }+ (- 4)\hat{i}\hat{j} + ( - 6)\hat{i}\hat{k} \\ \sf \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: ( 1)\hat{j}\hat{i} + \cancel{ (2)\hat{j} \hat{j} }+ (3)\hat{j}\hat{k}\\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf (4)\hat{k}\hat{i} + (8)\hat{k}\hat{j} + \cancel{(12)\hat{k}\hat{k} } \\ \\ \sf u \times v = ( - 4)\hat{i}\hat{j} + ( - 6)\hat{i}\hat{k} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf(1)\hat{j}\hat{i} + (3)\hat{j}\hat{k} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf(4)\sf \hat{k}\hat{i} + (8)\hat{k}\hat{j}$

Para realizar a multiplicação desses vetores restantes, devemos usar a regra da mão direita.

$\sf \hat{i} \times \hat{j} = \hat{k} \\ \sf \hat{i} \times \hat{k} = \hat{ - j} \\ \sf \hat{ j} \times \hat {i} = \hat{ - k} \\ \sf \hat{j} \times \hat{k} = \hat{i} \\ \sf \hat{k} \times \hat{i} = \hat{j} \\ \sf \hat{k} \times \hat{j} = \hat{ - i}$

Substituindo:

$\sf u \times v = ( - 4) \hat{k} + ( - 6) \hat{ - j} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf(1) \hat{ - k} + (3) \hat{i} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf (4) \hat{j} + (8) \hat{ - i} \\ \\ \sf u \times v = ( 3 - 8) \hat{i} + ( 6 + 4) \hat{j} + ( - 4 - 1) \hat{k} \\ \\ \boxed{\sf u \times v = ( - 5) \hat{i} + (10) \hat{j} + ( - 5) \hat{k}}$

Espero ter ajudado