Question

Dados os vetores u = (1, 1, -1) e v = (2, -3, 4) qual a área do paralelogramo determinado por u e v? sqrt(14) u.a. sqrt(12) u.a. sqrt(3) u.a.

Answer 1

basta fazer o produto vetorial entre os vetores e tirar a norma

$A=|| \vec u \land \vec v||$

tem muitas formas de fazer até por determinante vc escolhe.

$A=|| \vec u \land \vec v||=||\vec u||.||\vec v||.sin \theta$

$||\vec u||=\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2} =\sqrt 3$

$||\vec v||=\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{29}$

para obter seno temos que primeiro obter cosseno

$\vec u \bullet \vec v=||\vec u||.||\vec v||.cos \theta\\\\cos \theta=\frac{\vec u \bullet \vec v}{|| \vec u ||. || \vec v||}$

$cos \theta=\frac{1.2+1.(-3)+(-1).4}{\sqrt{3}.\sqrt{29} } =\frac{-5}{\sqrt{87} }$

então

$sin \theta=\sqrt{1-cos^2 \theta} =\sqrt{1-(\frac{-5}{\sqrt{87}})^2 } =\sqrt{{\frac{62}{87}} }$

$A=\sqrt{3}.\sqrt{29}.\sqrt{\frac{62}{87} }$

$A=\sqrt{62}$