Question

Dados os vetores u= (1,1,0), v=(-1,1,2), determine;
a) Um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u e v.
b) Um vetor de modulo 5 simultaneamente ortogonal a u e v.

Answer 1

Olá

Para encontrar um vetor ortogonal a outros dois vetores, basta calcular o produto vetorial entre os dois vetores dado

$\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\1&1&0\\-1&1&2\end{array}\right] \\ \\ \\ (2i+0j+k)-(2j+0i-k) \\ (2i-2j+2k) \\ \\ \\\ \boxed{\boxed{ \vec{w}=(2,-2,2)}}~~~~~~ ~\longleftarrow~~~~\text{Vetor ortogonal a "u" e "v"}$

Para encontrar um vetor que tenha módulo 5, temos primeiro que encontrar o vetor unitário do vetor que encontramos no item A), e em seguida multiplica-lo por 5.

Podemos calcular o vetor unitário dividindo o vetor pelo seu módulo.

Então, antes de tudo, vamos calcular o módulo do vetor w.

$\vec{w}=(2,-2,2) \\ \\ \vec{w}= \sqrt{2^2+(-2)^2+2^2} \\ \\ \vec{w}= \sqrt{4+4+4} \\ \\ \vec{w}= \sqrt{12} \\ \\ \text{Racionalizando} \\ \\\boxed{ \vec{w}=2 \sqrt{3} }~~~~\longleftarrow ~~~\text{Modulo de w} \\ \\ \\ \text{Dividi o vetor w pelo modulo que acabamos de encontrar} \\ \\ \\ \vec{w}=(2,-2,2) \\ \\ \vec{z}=( \frac{2}{2 \sqrt{3} }~ ,~- \frac{2}{2 \sqrt{3} } ~,~ \frac{2}{2 \sqrt{3} } ) \\ \\ \text{Simplifica}$
$\boxed{\vec{z}=( \frac{1}{ \sqrt{3} }~ ,~- \frac{1}{ \sqrt{3} } ~,~ \frac{1}{ \sqrt{3} } )}~~~~ ~~\longleftarrow~~~~~\text{Vetor unitario de w} \\ \\ \\ \\ \text{Agora para encontrar o vetor que tenha modulo , basta multiplicar o} \\ \text{vetor z que acabamos de encontrar} \\ \\ \\ \vec{z}=5\cdot( \frac{1}{ \sqrt{3} }~ ,~- \frac{1}{ \sqrt{3} } ~,~ \frac{1}{ \sqrt{3} } )} \\ \\ \\ \vec{z}=( \frac{5}{ \sqrt{3} }~ ,~- \frac{5}{ \sqrt{3} } ~,~ \frac{5}{ \sqrt{3} } )}$
$\text{Podemos racionalizar, multiplicando por }\sqrt{3} \text{ em cima e embaixo} \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\vec{z}=( \frac{5\sqrt{3} }{ 3 }~ ,~- \frac{5\sqrt{3}}{ 3 } ~,~ \frac{5\sqrt{3}}{ 3} )}}}~~~~~ ~~~\longleftarrow~~\text{Vetor ortogonal a "u" e "v"} \\ ~~~ ~~~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~\text{e que tem modulo igual a 5}$