Question

Dados os vetores u = (1;1;0) e v = (-1;1;2). Determine um vetor unitário simultaneamente ortogonal a u e v.​

Answer 1

$\boxed{\boxed{Ola\´ \: \: Fla\´ vio} }$

$\mathtt{Primeiro \: passo:}$
• Primeiro, calcula-se o produto vectorial entre os vectores dados.

$\left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{array} \right|$

$\left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 2 \end{array} \right| \: \left | \begin{array}{ccc} i & j \\ 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array} \right|$
$\Leftrightarrow \big[(2i + 0j + k) - ( 2j + 0i - k) \big] \\ \Leftrightarrow (2i + k - 2j + k) \\ \Leftrightarrow (2i -2j + 2k)$

$\vec{w} = (2, -2 , 2)$


$\mathtt{Segundo \: passo:}$
• Calcule o módulo do vector w.

$\Leftrightarrow || \vec{w} || = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 2^2 } \\ \\ \Leftrightarrow || \vec{w} || = \sqrt{4 + 4 + 4} \\ \\ \Leftrightarrow || \vec{w} || = \sqrt{12} \\ \\ \Leftrightarrow || \vec{w} || = 2 \sqrt{3}$


$\mathtt{Terceiro \: passo:}$
• Dividida o vector w pelo módulo do mesmo vector, matematicamente:

$\vec{w} = (2, -2 , 2)$

$\Leftrightarrow \vec{z} = \Big( \dfrac{2}{2 \sqrt{3} } , - \dfrac{2}{2 \sqrt{3} } , \dfrac{2}{2 \sqrt{3} } \Big)$

$\Leftrightarrow \vec{z} = \Big( \dfrac{\cancel{2}}{\cancel{2} \sqrt{3} } , - \dfrac{\cancel{2}}{\cancel{2} \sqrt{3} } , \dfrac{\cancel{2}}{\cancel{2} \sqrt{3} } \Big)$

$\Leftrightarrow \boxed{\boxed{\vec{z} = \Big( \dfrac{1}{ \sqrt{3} } , - \dfrac{1}{ \sqrt{3} } , \dfrac{1}{ \sqrt{3} } \Big)} }}$ $\: \: \end{array}\qquad\checkmark$



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::::::::::::::::::::Bons estudos::::::::::::::::::
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Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores "u" e "v" é:

       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\hat{w} = \Bigg(\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \Bigg) \end{gathered} }$

Sejam os vetores:

       $\Large\begin{cases} \vec{u} = (1, 1, 0)\\\vec{v} = (-1, 1, 2)\end{cases}$

Para calcularmos um vetor unitário que seja simultaneamente ortogonal aos vetores dados, devemos:

• Calcular o produto vetorial dos vetores supracitados:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{w} = \vec{u}\wedge\vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\1 & 1 & 0\\-1 & 1 & 2\end{vmatrix} \end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \begin{vmatrix}1 & 0\\1 & 2 \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix}1 & 0\\-1 & 2 \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix}1 & 1\\-1 & 1 \end{vmatrix}\vec{k} \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (2 - 0)\vec{i} - (2 + 0)\vec{j} + (1 + 1)\vec{k} \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 2\vec{i} -2\vec{j} + 2\vec{k} \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}= (2, -2, 2) \end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\vec{w} = (2, -2, 2) \end{gathered}$

• Calcular o versor - vetor unitário - do vetor "w":

            Sabemos que o vetor unitário de um dado vetor é aquele que possui módulo igual a unidade. Para calcular o vetor unitário, fazemos:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\hat{w} = \frac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|} \end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{(2, -2, 2)}{\sqrt{2^{2} + (-2)^{2} + 2^{2}}} \end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{(2, -2, 2)}{\sqrt{4 + 4 + 4}} \end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{(2, -2, 2)}{\sqrt{12}} \end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{(2, -2, 2)}{\sqrt{2^{2}\cdot3}} \end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{(2, -2, 2)}{2\sqrt{3}} \end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \Bigg(\frac{2}{2\sqrt{3}}, -\frac{2}{2\sqrt{3}}, \frac{2}{2\sqrt{3}} \Bigg) \end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \Bigg(\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \Bigg) \end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \Bigg(\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \Bigg) \end{gathered} }$

✅ Portanto, o vetor unitário ortogonal aos vetores "u" e "v" é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\hat{w} = \Bigg(\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} \Bigg) \end{gathered} }$

           

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Solução gráfica: