Question

Dados os vetores u = (0, 3, −1) e v = (−1, 0, 2), determine a área do paralelogramo definido por esses vetores.

Answer 1

✅ A área do paralelogramo determinado pelos vetores $\rm \vec{u}$ e $\rm\vec{v}$ é $\rm A = \sqrt{46} \,u.a.$

 

☁️ Produto vetorial: O produto vetorial é definido por:

$\Large \underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad \vec{u} \times \vec{v} = \Vert \vec{u}\Vert \: \Vert \vec{v} \Vert \sin(\phi) = \begin{vmatrix}\rm \hat{x} &\rm \hat{y} &\rm \hat{z} \\ \rm u_x &\rm u_y &\rm u_z \\\rm v_x &\rm v_y &\rm v_z \end{vmatrix} \qquad}}}$

Onde $\phi$ é o ângulo formado entre os vetores e $\rm \hat{x},\, \hat{y},\, \hat{z}$ são vetores unitários intitulados por versores e formam a base canônica do espaço $\rm \mathbb{V}^3$.

 

ℹ️ Primeiramente, vamos entender o significado geométrico do produto vetorial.

 

❏ Para isso, observe os vetores $\rm \vec{u}$ e $\rm\vec{v}$ na imagem. Deslocando paralelamente os representantes desses vetores até às intersecções, formaremos um paralelogramo, cuja altura mede $\rm h$ e base $\rm \Vert \vec{u} \Vert$

 

❏ Daí, como a área do paralelogramo é o produto da base pela altura, obtemos:

$\large\begin{array}{lr}\rm A = \Vert \vec{u} \Vert h \end{array}$

 

❏ Note ainda que podemos reescrever essa área em função dos vetores, se aplicarmos a relação trigonométrica $\rm \sin(\phi)$, logo:

$\large\begin{array}{lr}\rm \sin(\phi) = \dfrac{h}{\Vert \vec{v} \Vert} \Rightarrow h = \Vert \vec{v} \Vert \sin(\phi) \end{array}$

 

❏ Substituindo em $\rm h$:

$\large\begin{array}{lr}\rm A = \Vert \vec{u} \Vert h = \Vert \vec{u} \Vert \: \Vert \vec{v} \Vert \sin(\phi) = \vec{u} \times \vec{v} \end{array}$

 

⚠️ Daí vem a interpretação geométrica do produto vetorial. Nada mais é que a área do paralelogramo determinado pelos vetores operados!

 

✍️ Solução: Utilizaremos o conceito visto anteriormente. Como o produto vetorial no espaço envolve um determinante 3×3, é útil resolver via desenvolvimento de Laplace:

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm \vec{u}\times\vec{v} &=\rm \begin{vmatrix} \rm \hat{x} &\rm \hat{y} &\rm \hat{z} \\ \rm u_x &\rm u_y &\rm u_z \\ \rm v_x &\rm v_y &\rm v_z \end{vmatrix} \\\\&=\rm \hat{x}\begin{vmatrix} \rm u_y &\rm u_z \\ \rm v_y &\rm v_z \end{vmatrix} - \hat{y}\begin{vmatrix} \rm u_x &\rm u_z \\ \rm v_x &\rm v_z \end{vmatrix} + \hat{z}\begin{vmatrix} \rm u_x &\rm u_y \\ \rm v_x &\rm v_y \end{vmatrix} \\\\ &=\rm \hat{x} [u_yv_z - u_zv_y] - \hat{y}[u_xv_z-u_zv_x] + \hat{z}[u_xv_y-u_yv_x]\end{aligned}\\\\{\underline{\boxed{\boxed{\rm\therefore\: \vec{u}\times\vec{v} = \hat{x} [u_yv_z - u_zv_y] - \hat{y}[u_xv_z-u_zv_x] + \hat{z}[u_xv_y-u_yv_x] }}}} \end{array}$

 

❏ Dessa forma, considerando $\rm \vec u = (u_x, u_y, u_z) = (0, 3, -1)$ e $\rm \vec v = (v_x, v_y, v_z) = (-1, 0, 2)$, teremos:

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm \vec{u}\times\vec{v} &=\rm \hat{x} [3 \cdot 2 - (-1)\cdot 0] - \hat{y}[0 \cdot 2 -(-1)\cdot (-1)] + \hat{z}[0\cdot 0-3\cdot (-1)] \\\\&=\rm 6\hat x + \hat y +3\hat z \\\\&=\rm ( 6,1,3) \end{aligned}\\\\\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: \vec{u}\times\vec{v} = ( 6,1,3) }}}\end{array}$

 

❏ A norma de um vetor, módulo ou valor absoluto é a raíz quadrada da soma das componentes ao quadrado ( obtida via teorema da escola Pitagórica )

$\large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\rm \Vert \vec u \times \vec v \Vert &=\rm \sqrt{6^2 + 1^2 + 3^2} \\\\&=\rm \sqrt{36 + 1 + 9} \\\\&=\rm \sqrt{46} \end{aligned}\\\\\red{\underline{\boxed{\boxed{\rm \therefore\: \Vert \vec u \times \vec v \Vert = A = \sqrt{46}\,u.a. \approx 6{,}78\, u.a. }}}}\end{array}$

 

✔️ Essa é a área do paralelogramo!

 

❏ Seção de links para complementar o estudo sobre produto vetorial, geometria analítica:

• brainly.com.br/tarefa/47674739
• brainly.com.br/tarefa/32026844

$\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}$