Question

Dados os vetores u ⃗ = (0,2,3) e v ⃗ = (-4,1,0) e w ⃗ = (1,1,4) determine os números reais

a, b e c de forma que o vetor = (7,4 ,-2) é uma combinação linear dos vetores u ⃗ ,v ⃗ e w ⃗ .

Answer 1

Os valores de a, b e c são, respectivamente, 6, -3 e -5.

Se o vetor s = (7,4,-2) é uma combinação linear dos vetores u = (0,2,3), v = (-4,1,0) e w = (1,1,4), então podemos dizer que:

s = a.u + b.v + c.w

(7,4,-2) = a(0,2,3) + b(-4,1,0) + c(1,1,4)

(7,4,-2) = (0,2a,3a) + (-4b,b,0) + (c,c,4c)

(7,4,-2) = (-4b + c, 2a + b + c, 3a + 4c)

Igualando as coordenadas, obtemos o sistema:

{-4b + c = 7

{2a + b + c = 4

{3a + 4c = -2.

Da primeira equação, é verdade que c = 4b + 7.

Substituindo o valor de c na terceira equação:

3a + 4(4b + 7) = -2

3a + 16b + 28 = -2

3a + 16b = -30

3a = -16b - 30

a = -16b/3 - 10.

Substituindo os valores de a e c na segunda equação:

2(-16b/3 - 10) + b + 4b + 7 = 4

-32b/3 - 20 + 5b + 7 = 4

-17b/3 = 17

b = -3.

Logo,

a = 6 e c = -5.